本书讲述了史前时期到我们所在的电子时代的数学历史。不同于枯燥的数字、符号和公式，这是一本关于人与文化，信念与目标，希望和梦想的关系的探索历程，从毕达哥拉斯定理到大型强子对撞机，26个世纪以来的数学领域涌现了许许多多关键人物、著名理论和优美逻辑，本书向你展示这些历史上的数学大发现与大发展如何改变了我们看世界的方法。本书涉及了以下有趣的数学问题，当然这只是其中的几个问题：
古人怎样数绵羊：早期的牧羊人，用一块卵石代表一只绵羊，每数一只绵羊，拿走一块卵石，最后袋子里剩下的几块卵石，就代表有几只绵羊走失了。
玛雅人的日历为什么只到2012年：二十进制法，玛雅日历，世界末日说法。
柏拉图是哲学家也是数学家：柏拉图立方体，黄金比例，等等。
丢番图年纪之谜：他1/6的年龄为童年，1/2的生命为青年……他儿子在他年纪的一半时离开人世，他又用了4年的时间研究代数，随后生命终止。你能算出他去世时的年龄吗？
柯尼斯堡七桥问题：七座桥在不同的地点连接岛屿的两岸，怎样才能把每座桥都走一遍，而同一座桥不会走两次。
完美公式：一条熠熠生辉的等式：eiπ+1=0它在数学上的美体现在它用到了五个数学上最重要的数——e、i、π、1、0。
因同性恋而屈辱自杀的图灵：他破译了恩尼格玛密码机，他发明了智能机器“图灵机”，他是现代计算机理论之父，他以一只毒苹果结束自己41岁的生命。
Google名字的由来：当美国数学家爱德华?卡斯纳要为一个大数创造一个新的单词时，他的小外甥向他提议google这个词，表示1后面紧接着100个0，后来又演化为，表示不需要达到无穷就可以拥有这么大的数。
作者简介：
克里斯·韦林（ChrisWaring）：英国中学数学老师，曾出版《我应该知道的数学知识》（IUusedtoKnowThat:Maths）。他的作品生动简洁，由浅入深，深受读者喜爱。本书是他的又一部广受欢迎的作品，揭示了数学背后那些鲜为人知的故事。
目录：
前言
史前的数学
早期文明的数学
古希腊的数学
罗马的数学
东方的数学
中世纪时期的欧洲
文艺复兴之后
数字时代
现代数学
数学的未来
参考文献
索引前言
世间万物都离不开数学。这一学科内涵丰富，延伸出多个分支。因此，任何的事情，从宇宙大爆炸到如何增加自己在游戏节目中获胜的概率，我们都可以利用它来解析。数学在日常生活中也发挥着不可或缺的作用。你可能正在从事一份技术性的工作，而工作期间你需要经常进行大量复杂的数字运算，又或许仅当你要记账或者比较网上的特价优惠时才需要进行算术运算。
从小时候开始我们就被反复灌输数学知识。大概到了十六岁的时候，你很可能已经接受过一定程度的数学教育。你会学习过算术——怎样去进行数字运算；几何，它能帮助我们理解形状和空间；还有代数，凭此我们不需要反复试验就能够解决问题。
越来越多的人因学习数学而取得学位，或者取得更高的成就，而你也许会成为当中的一员。在这种情况下，你会熟悉微积分、复数、力学、统计学、决策数学或者种种可能存在的数学领域。
无论你目前达到哪种数学水平，你也不太可能听说过很多数学背后的故事。谁决定我们采用十进制的呢？为什么一个圆周是360度呢？又是谁发明了代数呢？数学的每一方面，从我们采用的数字到当代数学家用来处理未解大难题的方法，都是几千年来人类努力的成果，而人类的这番努力在全世界的数学课堂以及数学课本上都很少被提及。
我们这本书从最早期的人类文明开始一直介绍到现代，讲述了引人入胜的数学史。这是一部人类及其文明、信仰和目标的编年史。为什么玛雅人的历法到2012年便结束了呢？为什么历史上没有出现过哪位显著的罗马数学家却有那么多古希腊的数学家呢？从什么时候开始科学家利用数学去开发理论呢？
我希望你会觉得接下来的故事有趣、动人，具娱乐性。我也希望这本书会令你对数学以及那些促进数学发展为如今这样一门奇妙的学科的人产生新的敬意。
阿兰图灵
（1912—1954年）
图灵是英国卓越的数学家和科学家。广为人知的是，在第二次世界大战期间，他帮助盟军破译了纳粹的密码机恩尼格玛。
有内存的机器
在第一次世界大战之前，图灵是剑桥的一名数学研究员。他从事于判定问题的研究。判定问题是大卫?希尔伯特（见书217页）所提出的一个挑战，说的是能否把一个数学问题转变成一个算法，该算法可以产生一个“为真”或者“为假”的答案，而答案是无需证明的。通过引入理想化计算机图灵机的概念，图灵表明那是不可能的。
图灵机是一台拥有无限内存可以填塞无限多数据的计算机。机器可以根据一个简单的数学规则对数据进行修改。图灵指出，对于判定问题，究竟图灵机可以求出一个答案还是只会永恒地运作下去，都是不可知的。
还处在理论层面的图灵机对建立计算机科学意义重大。图灵在计算方面的研究让他得以在美国的普林斯顿大学继续深造，在那里他取得了数学博士学位。图灵利用布尔逻辑（见书167页）制造了其中一部最早期的电子计算机，这是面向现代计算机的重要进展。
破解密码
图灵是密码学校中的一员。密码学校成立于二战期间，位于英国米尔顿凯恩斯的布莱切利公园，图灵在那里着手于恩尼格玛密码机的破译工作。图灵设计出一台称为邦贝的机电机，用这台机器枚举恩尼格玛密码设定的速度比密码专家用人工的方法去做要快很多。邦贝依赖于这样一个事实，恩尼格玛不会把一个字母加密成它本身——如果你把字母“q”输进恩尼格玛，机器不会输出“q”。邦贝会穷举所有的设定，当输出的字母与输入的字母相同时，这种设定就要被排除，进而模拟下一种设定。第二个窍门就是作试探：凭经验猜测，比如，猜想被截信息的第一个单词可能是什么。
图灵和其他人在布莱切利公园所做的工作对于盟军有重大意义，无疑地，也缩短了战争。然而，这些工作是高度机密，也因此没什么人了解图灵做出的努力。
人类对机器
战后，图灵继续自己在电子计算机方面的工作，着手研究人工智能——一台足够强大足够快的计算机能否拥有智能。在研究中，图灵设计出图灵测试。测试规定，如果一个人类与计算机交流时没有察觉出对方不是一个人类，那么计算机就被认为是拥有智能。图灵在计算机方面的研究为我们现在享受（也被视为理所当然）的数字革命奠定了基础。例如，我用来写书的这台计算机，也是起源于图灵机。
进入混沌
1952年，图灵从事生物学方面的研究。在生物体中，有一个时期，细胞会从相互之间非常相似变到相互之间非常不同。比如，在胚胎发育时期，一组相同的干细跑会发育成身体各种器官细胞。图灵表示，这个称为形态发生的时期，只是有着简单的数学基础，尽管如此，细胞还是能够发育成复杂的动物。这个想法领先那个时代太多了，人们的思维也跟不上，图灵在这方面的研究全都白费了。然而，在图灵去世很多年以后，他在形态发生方面所做的工作被认为是初露了混沌数学的端倪。
不幸的是，1952年，图灵因为同性恋行为被判严重猥亵罪。在那时候，同性恋是不合法的。在服刑与注射雌激素之间，图灵选择了后者。注射所带来的可怕副作用使图灵非常沮丧，在1954年，他因氰化物中毒而死。在41岁时，图灵，现代计算理论的奠基者，无名的战争英雄，去世了，而他很可能是自杀而死的。我们只能沉思，要是他没有以这种悲剧的方式过早离世，他还能为人类带来什么新的发现。
图论问题
计算机没有立即被数学家们采用，因为很多批评者认为求解问题时需要规范地写上一段优雅的证明，而不是仅仅通过数字捣弄来得出结果。其中一个最先在计算机的帮助下证明的猜想叫做四色定理。
在19世纪，南非数学家弗朗西斯格思里（1831—1899年）绘制英格兰的地图时发现，可以用四种颜色为地图着色，而每一个郡的颜色都由相邻郡的颜色决定。格思里把这定为四色猜想，更正式地说，就是在一个二维的平面地图上，相互接壤的地区不能着上同一种颜色，最多只需要四种颜色就能把地图着完色。需要注意的是，相交于一点的地区不算是接壤，因此它们可以着上同一种颜色。并且，地图上的每一个国家都是独立的，所以它们可以着上任何规定的颜色（不像俄罗斯境内老柯尼斯堡的所在地）。
π的一部分
每一个学童都知道，π是一个特殊的数，是由圆周（圆的周长）除以圆的直径（通过圆心连接圆上两点的距离）而得到的。因为所有圆在数学上都是相似的（大小成比例），无论圆大小如何，你总能得到相同的π值。
数学家一直对π感到着迷。它是一个无理数（见书43页），而数学上它也是一个非常有用的常数，它不仅在有关圆的问题上出现，而且还出现在几何和微积分的问题上。纵观整个数学史，我们看到人们尝试算出π，尝试提高它的精度（见183页方框部分）。我的计算器显示：
π=3.141592654
自从机械计算机和电子计算机出现后，快速精确地进行必要运算的能力已经成倍地提升。在1980年代，来自美国的楚德诺夫斯基兄弟用自制的超级计算机首先把π精确到小数点后十亿位。目前的记录是由日本数学家金田康正创下的，他在2010年把π精确到小数点后2.7万亿位（2700000000000）。
计算π
多个世纪以来，π是这样计算出来的：
公元前1900年，希腊数学家计算出的值是256/81=3.1605。
古巴比伦人算出一个更接近的值25/8=3.125。
从《圣经》中我们可以推出一个约等于3的值。
我们看到阿基米德把π的值定在3.1408和3.1429之间，他也给出一个经常被学校采用的近似值22/7。
公元15世纪中国的祖冲之算出355/113=3.1415929。
公元1400年印度数学家摩陀婆算出3.1415926539。
1706年英格兰天文学教授约翰马契把π精确到小数点后100位。
瑞士数学家约翰朗伯在1768年证明了π是无理数。
进入未知
混沌理论是数学的一个分支，探讨的是不可预知的行为。虽然在计算机出现后这个领域才真正出现，但在牛顿的年代混沌方程就首次被人注意到了。
牛顿工作的主要目标之一就是要创造一个可以解析天体运动的系统。如我们所知，行星几乎按照近乎圆形的轨道围绕太阳转动。然而，宇航员注意到，行星的轨道偶尔有轻微的摆动，而摆动明显是随机的。
莱昂哈德欧拉（见书142页）想出一个称为三体问题的概念，试图预测月球那有点不规则的轨道。这种不规则产生的原因是月球的轨道同时受到地球和太阳引力的影响。月亮位于绕地球轨道的不同位置时太阳对其施加的作用力是不同的，也因此月球的轨道存在波动。欧拉得出一条控制方程，该方程表明以第三个星体（月亮）为参照时，某两个星体（地球和太阳）存在着固定的关系。法国数学家亨利庞加莱（1854—1912年）试图扩充这条方程，使它适用于更一般的情况，以便能把它引用到整个太阳系。他没有成功，但他能够指出，轨道永远是不规则的。
天体运动并非唯一一个科学家观察到的不规则现象。湍流中的数学原理长期以来都困扰着数学家。当气体或者液体流动时，在某些情况下，质点的运动可以用数学来解析——当液体的流动速度是相对较小时。然而，随着速度增加，质点的运动，尤其是在障碍物附近的运动，是不可预测的。这个湍流相当没秩序。对气体和液体运动的研究称为流体力学，而在很多场合中，包括运输，发电，甚至是理解人体的血液流动，流体力学都对人类非常重要。
天气可能是湍流在地球上最显著的例子。在1960年代，美国的气象学家爱德华罗伦兹（1917—2008年）利用计算机为空气的运动建模，他注意到，当他非常轻微地改变仿真的初始条件时，随着时间的推移，由仿真所预报的天气会有很大的不同。这让罗伦兹发现了“蝴蝶效应”：这个概念表示，在气流模型中的微小变化，就像蝴蝶拍动翅膀所带来的变化，可能会导致世界的某个地方出现飓风。
初始条件是敏感的，它会导致不可预测的、无序的行为。即使我们可以完全理解当中质点的运动，我们也未能在它们速度、质量或者温度的测量中得到足够的细节去预测一个长期的结果。
这也可以运用到图灵对形态发生的观察——尽管斑马身上条带的形成是由简单的数学和化学规则掌控，是不可估量的，但那些规则之于每只斑马的小小差异就会导致它们条带的巨大差异。
天气预报
天气是无序的——我们永远不可能提前几天就准确把它预报出来，要是那样，我们预报的结果也与实际相差甚远。1987年英国的暴风雨刮起了几百年来最糟糕的狂风，而这从未被预测到。
计算机成为研究混沌数学的关键，因为它让你能够对某种情况建模并且让模型运转，并在每一个时期记录许多变量。没有计算机的帮助，每一步的迭代都要耗费难以想象的时间。计算机有利于交互式过程，这为我们将要看到的数学分支带来帮助：分形学。
显微镜下
尽管“分形”这个词要到1975年才出现，但几百年来，数学家都已经对此着迷。分形就是一种有自我相似性的几何图形：无论你以何种尺度观测图象，你都能看到同样的特征。
海岸线就是分形的一个好例子。想象一下你有一张海岸线的卫星照片。没有任何像建筑物、树或者船之类的线索，你发现很难判断自己是在看离海岸1000英里的地方还是离陆地10英里的地方。这是因为那些特征——河流入口，岬角，海湾等——以不同的尺度来看都很相似。上述情况也适用于许多自然景观的特征。在月球上的宇航员发现很难测量卵石的尺寸——没有大气笼罩，他们不能判定自己是在100米以外观察一个像车那么大的卵石还是在500米以外观察一个更大的卵石。
日常的分形学
很多的树和植物都有一个分支的、类似分形的结构。尤其是蕨类植物——植物的叶子看起来与其复叶的缩小版很相似。
我们今天在游戏和电影中看到的CGI（计算机生成图像）经常都是利用分形算法去构造风景、植物叶子、云朵，甚至皮肤和毛发，以使它们看起来真实。
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