三颗硕大的骰子从一个波纹斜面上滚落到下面的平面。柜台上标着从1至6的巨大白色数字。参与的人愿意在哪个数字上押多少钱都行。骰子滚落以后，如果他押钱的数字出现在一颗骰子上，他就可以拿回赌注再加上与赌注同样多的钱。如果这个数字出现在两颗骰子上，他不但拿回赌注，还可另得两倍赌注的钱。如果三颗骰子上都是这个数字，他拿回赌注外，还可另得三倍赌注的钱。从长远来看，每押一元钱，能期望得到多少？《迷宫与幻方》一书为我们讲解的就是此类趣味数学知识，主要供青少年阅读。《迷宫与幻方》由马丁·加德纳编写。
目录：
中译本前言序言第1章五种柏拉图多面体第2章变脸四边形折纸第3章亨利·杜德尼：伟大的英国趣味数学家第4章数码根第5章九个问题第6章索玛立方块第7章趣味拓扑第8章φ黄金分割比第9章猴子与椰子第10章迷宫第11章趣味逻辑第12章幻方第13章詹姆斯·休·赖利演出公司第14章又是九个问题第15章依洛西斯归纳游戏第16章折纸艺术第17章化方为方第18章器具型趣题第19章概率与歧义第20章神秘的矩阵博士进阶读物附记 詹姆斯·休·赖利演出公司是美国最大的巡回游乐团之一，虽然它并不存在。当听说该团已在城郊开演时，我便驱车前去那里看望我的老朋友吉姆·赖利(JimRiley)，20多年前我们是芝加哥大学的同学。当时他在修数学研究生课程，可是某一年夏季他参加了一个巡回游乐团，在女子色相表演节目里担当讲解员。据游乐团成员说，在以后数年里，他一直乐于此道。那里的每个人都只叫他教授。而不知他姓甚名谁。不知什么原因，他对数学的热情没有减退，因而我们每次相会时，总能指望从他那里学到些不寻常的数学知识。我找到教授时，他正在畸形动物展览前和收票员闲聊。他戴着一顶白色斯泰森毡帽，看起来要比我上次见到他时更老也更富态些。“每月都拜读你的专栏，”我们握手时他说道。“想没想过写一写小圆盖大圆游戏？”“说什么来着？”我问道。“它是这里最古老的游戏之一。”他抓着我的胳膊，推着我在游艺场里走，直到走到了一个展位前。那里有个柜台，上面涂着一个直径为1码的红色圆点。游戏目标是要把五个金属圆盘一次一个地放在圆点上，最后完全盖严它。每个圆盘的直径都是大约22英寸，一旦把圆盘放下，就不能再挪动。如果把第五个放下后，还没有把红点全部盖住，哪怕只露出一丁点儿，也要算输。“当然，”教授说，“我们采用的圆点是圆盘能盖住的最大的一个。多数人认为应该这样来放。”他把圆盘对称地排放起来，如图13.1所示。每个圆盘的边都碰到圆点的中心，五个圆盘的中心构成了正五边形的角。圆点边缘有五个小小的红色区域还露在外面。“遗憾的是，”赖利接着说，“这样并不行。要盖住一个最大的圆，圆盘应这样排放。”他用指头推动圆盘，直到出现图13.2所示的形状。他解释道，1号圆盘的中心应放在直径AD上，其圆周与直径交于C点，这个点稍低于红圆点的圆心B。3号和4号圆盘的圆周应经过C点和D点。2号和5号圆盘如图所示把剩余的部分盖住。自然而然我想知道BC的长度是多少。赖利记不起准确的数字，可他后来寄给我一篇内维尔(EricH.Neville)写的参考文章：“论数值函数方程的解法——对一个流行游戏及其解答所做的说明”(《伦敦数学学会公报》(ProceedingsoftheLondonMathematicalSociety)第二辑，第14卷，第308—326页；1915年)，其中有这道难题的详细解答。如果圆点的半径是1，那么BC的长度是0.0285略大一点，圆盘的最小可能半径为0.609+。如果圆盘按图13.1排放，其半径就必须是0.6180339+，才能把圆点完全盖住。(这个数字是第8章讨论的黄金分割比φ的倒数。)此题的一个奇怪的特点是：两种不同的圆盘排放方法所盖住的面积差异十分小。除非圆点的直径大到约1码，要不然其差别难以觉察。我说：“这使我想起一个仍未解开的有趣问题——一个最小面积问题。把一块区域的直径定义为联结区域上任意两点的最长线段。那么请问：能盖住单位直径的任何区域的最小平面图形状是什么？面积多大？”教授点了点头说：“符合这个条件的最小正多边形是边长为1/根号3的正六边形。不过大约30年前有人对此作了改进，把两个角切掉了。”他从上衣口袋里掏出一支铅笔和一个拍纸簿画出了这个图形(复制在图13.3里)。这两个角是沿着(直径为一个单位的)内接圆的切线切掉的，并且切线垂直于圆心与角的连线。“这是迄今为止的最佳解答吗？”我问道。赖利摇头说：“我听说几年前伊利诺斯大学的某个人又去掉了一小块，但详细情况就不知道了。”我们在游艺场里信步走着，来到了另一个展位前。那里有三颗硕大的骰子从一个波纹斜面上滚落到下面的平面。柜台上标着从1至6的巨大白色数字。参与的人愿意在哪个数字上押多少钱都行。骰子滚落以后，如果他押钱的数字出现在一颗骰子上，他就可以拿回赌注再加上与赌注同样多的钱。如果这个数字出现在两颗骰子上，他不但拿回赌注，还可另得两倍赌注的钱。如果三颗骰子上都是这个数字，他拿回赌注外，还可另得三倍赌注的钱。当然如果赌的数字不出现。赌注就输掉了。“这个游戏怎么赚钱呢？”我问道。“一颗骰子出现某个数字的概率是÷，那么三颗骰子最少出现一次这个数的概率是3/6，即1/2。如果他赌的数字出现在不止一颗骰子上，他赢的倒比他押的钱还多。在我看来这个规则有利于参与者。”教授听罢轻声笑起来。“我们就是要那帮糊涂蛋(mark，游乐团俚语，指容易受骗的人)这么算。你再想想看。”我后来认真考虑这个问题时，大吃一惊。也许有些读者愿意算算，从长远来看，他们每押一元钱，能期望得到多少。我离开那里之前，赖利带我去了一个他称之为“特色小吃摊”的地方吃点东西。咖啡很快上来了，可我想等三明治上来后再用。“你要想让咖啡保持烫烫的，”教授说，“最好现在就把奶油倒进去。咖啡越烫，热量损失的速度越快。”我顺从地把奶油倒进咖啡里。教授的从正中间一切为二的火腿三明治上来后，他盯着它看了一会儿说：“你是否碰巧看到过图基和斯通写的那篇推广的火腿三明治定理的论文？”“你指的是共同发现那些变脸折纸的图基和斯通吗？”“正是。”我摇头说道：“我对此一点情况也不了解。”赖利又拿出他的拍纸簿，在上面画了一条线段。“任何一维图形可以用一个点等分，对吗？”我点了点头。这时他又画了两个不规则闭曲线和一条切割这两个图形的直线(见图13.4)。“平面上的任何一对区域都能用一条直线等分，是吗？”“我相信你的话。”“证明起来并不难。在库兰特(Richard(]ourant)与罗宾斯(HerbeItRobbi)合著的《数学是什么》(WhatIsMathematics)一书中就有一个基本证明。它利用了波尔查诺定理。”“噢，是的，”我说。“如果一个关于x的连续函数既有正值也有负值，那么它至少有一个零值。”“不错。它看起来微不足道，可是在各种各样的存在性证明中，它是威力极大的一种工具。当然这种证明并没有告诉我们怎样来画这条线。它只证明存在这条线。”“那么火腿三明治是怎么回事？”“当我们进入三维空间时，处于任何位置的任意三个立体，无论其形状和大小有多么古怪，其体积总是能被一个平面同时准确地二等分，就像把两片面包夹着一片火腿一起二等分一样。斯通和图基把这个定理推广到了所有维数的空间中。他们证明，总会存在一个超平面，可以把四维空间中任何位置的四个四维立体二等分，或把五维空间中任何位置的五个五维立体二等分，依次类推。”教授端起杯子一饮而尽，然后指着柜台那边的一堆炸面饼圈说道：“说起切割立体，你可以向你的读者提出这个怪问题。一个炸面饼圈同时被三个平面切过，最多能得到多少块？这个问题是我自己想出来的。”在旋转木马走音的汽笛风琴声中，我闭上眼睛想象着结果，但直到最后脑子发麻也未能想出眉目，就把问题搁下了。P151-156
|
