陈仁政编著的《e的密码：解码三大数学常数》以生动活泼的形式，通俗地介绍了对数的发明、这一发明的重大意义、如何用它来解决实际问题，以及常用对数的诞生和应用，翔实地揭示了自然对数的诸多之谜——它的底e为什么与圆周率丌一样在整个科学中大放异彩？为什么数学家要用e作为自然对数的底？以e为底的对数为什么叫自然对数？e究竟是一个什么样的数？
《e的密码：解码三大数学常数》不但把e融入整个数学以至科学之中，而且把人文精神融入其中，对提高人的综合素质，特别是培养人的健康心理大有裨益。
本书适合具有中等及以上文化的青少年或成人阅读，也是研究e的重要参考书。
您想看凡尔纳小说中的“冒牌大力士”吗？您想独自在拔河比赛中让一群人俯首称臣吗？那就“跟我走吧”，现在就出发，穿过快乐的河流，就会到达e的“老家”！
作者简介：
陈仁政，中学教师，长期从事数学等学科教育。在《数学通报》、《知识就是力量》、《光明日报》等50多种报刊上发表过文章200多篇（次）。出版过《站在巨人肩上》丛书、《七彩学生文库·科学天梯》丛书、《说不尽的π》、《不可思议的e》等专著20多种。其中《说不尽的π》与《不可思议的e》获2009年度“国家科学技术进步奖”二等奖；《七彩学生文库·科学天梯》丛书获2010年第一届“中国科普作家协会优秀科普作品奖”提名奖。
目录：
从书序
第1章激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿
1.1从第一级到第三级——数学运算“步步高”
1.2“在离天很近的地方”——斯蒂费尔的遗憾
1.3教授与贵族——激情相约爱丁堡
1.3.1“巨人肩上”的对数
1.3.2激情相约爱丁堡
1.4汗水、智慧加机遇——纳皮尔发明对数
1.4.1纳皮尔是如何发明对数的
1.4.2对数的发展
1.4.3“时代造就英雄，英雄创造历史”
1.5科学更有力量——天才的遗憾
1.5.1富翁依然钟情科学
1.5.2多才多艺的天才
1.5.3天才的遗憾从书序
第1章 激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿
1.1 从第一级到第三级——数学运算“步步高”
1.2 “在离天很近的地方”——斯蒂费尔的遗憾
1.3 教授与贵族——激情相约爱丁堡
1.3.1 “巨人肩上”的对数
1.3.2 激情相约爱丁堡
1.4 汗水、智慧加机遇——纳皮尔发明对数
1.4.1 纳皮尔是如何发明对数的
1.4.2 对数的发展
1.4.3 “时代造就英雄，英雄创造历史”
1.5 科学更有力量——天才的遗憾
1.5.1 富翁依然钟情科学
1.5.2 多才多艺的天才
1.5.3 天才的遗憾
1.6 承伟业自有来人——从布里格斯到弗拉格
1.6.1 布里格斯握紧接力棒
1.6.2 郁金香花开的地方
1.7 伟大发明生“龙胎”——红极一时的“尺子”
1.7.1 揭秘计算尺
1.7.2 从冈特到武拉斯顿
1.7.3 无可奈何花落去
1.8 伟大发明生“凤胎”——红极一时的“表格”
1.8.1 常用对数表最受青睐
1.8.2 编制对数表的“流水账”
1.8.3 “落红不是无情物”
1.9 并非“风景这边独好”——“杀鸡杀喉”比尔吉
1.10 天文学家延寿一倍——拉普拉斯这样说
1.11 “迟到的爱”——对数在中国
第2章 无处不在的对数——“天地英雄”大显神通
2.1 “吹拉弹唱”也要讲数学——音乐中的对数
2.2 从希帕恰斯到普森——星星亮度的“对数尺”
2.2.1 “目视星等”的“对数尺”
2.2.2 “绝对星等”和“照相星等”
2.3 借得“贝尔”寻规律——噪声的“对数尺”
2.3.1 常用对数度量噪声
2.3.2 响度感觉的实验研究
2.4 里克特的“尺子”——地震中的对数
2.4.1 里氏震级与常用对数
2.4.2 地震的烈度
2.4.3 里氏震级的改进
2.5 科学家笔下的曲线——实用的对数图
第3 章奇趣就在对数中——从2>3到3个2
3.1 2>3——欧拉时代的人“自摆乌龙”
3.2 对数的奇迹——你也能当速算大师
3.2.1 神奇的速算大师
3.2.2 棋盘上的麦粒和梵塔中的金盘
3.3 狄拉克也会疏忽——3个2的奇趣
3.4 对数表引出的祸殃——海难、蜜蜂和数学家
第4章 对数的华丽蜕变——“常用”和“自然”
4.1 以2为底的对数——神通广大应用广泛
4.1.1 以2为底的对数与2进制
4.1.2 从哈里奥特到莱布尼茨
4.2 常用对数——“爱你没商量”
4.2.1 为什么选择常用对数
4.2.2 对数的符号
4.2.3 酸碱度与常用对数
4.3 自然对数——不只是大自然的选择
4.3.1 为什么要用e作对数的底
4.3.2 以e为底的对数为什么叫自然对数
4.4 e的又一用武之地——编造对数表
4.4.1 编造对数表的“原始”阶段
4.4.2 新方法让编造对数表进人“高速公路”
4.4.3 如何编造对数表
第5章 “王宫”中的漫游——数学殿堂中的e
5.1 关系你的“钱包”——无处不在复利律
5.1.1 大自然的复利律
5.1.2 我们不会自成“大款”
5.1.3 富兰克林的捐款和拿破仑的带刺玫瑰
5.2 数学珍宝——竹和e的“一家亲”
5.3 弟弟帮哥哥——e为π开路立功
5.4 π，e“连横合纵”之后——两种“桃园三结义”
5.4.1 π，e，i的“桃园三结义”
5.4.2 π，e，φ的“桃园三结义”
5.5 数学与物理——对数积分和指数积分中的e
5.6 悄悄走近“数学王子”——素数研究中的e
5.6.1 越来越先进的“筛子”
5.6.2 素数定理
5.6.3 有趣的素数分布
5.7 从麦齐里阿克到陈景润——华林一哥德巴赫猜想中的e
5.7.1 不好解答的“1+1”
5.7.2 华林的难题
5.7.3 “纯数学问题”有用吗
5.8 吉利斯猜想——梅森素数个数中的e
5.9 半个世纪的积分探索——欧拉积分与e
5.10 蠕虫能“如愿以偿”吗——欧拉常数中的e
5.10.1 不老蠕虫爬长绳
5.10.2 欧拉常数藏玄机
5.11 自然数“切蛋糕”——“整数分拆”也要靠e
5.11.1 自然数的“整数分拆”
5.11.2 从欧拉到波斯特尼科夫
5.12 对数正态分布——概率论中的e
5.12.1 从钢丝长度到智商指数
5.12.2 概率论中的e
5.12.3 买彩票有多少机会中奖
5.13 “双曲”与“三角”——这里也有e
5.14 英国海疆长几何——分形公式中的e
5.15 积分方程的滥觞——拉普拉斯变换和e“结盟”
5.16 级数何名傅里叶——三角级数中“暗藏”的e
5.17 从达·芬奇到伯努利——“悬在空中”的e
5.17.1 来之不易的悬链线方程
5.17.2 跨越300年的美丽
5.18 聚首“中心”的“难题”——4只甲虫如何爬行
5.19 数学也要“轻装上阵”——e与微积分
5.20 众“神”朝拜“美猴王”——离不开e的数学
第6章 “大众情人”——走出“王宫”的e
6.1 物理学的宠儿
6.1.1 你也能当“大力士”——缆绳靠e系船舟
6.1.2 “滴答”声中的物理公式——摆锤振动中的e
6.1.3 火箭飞天的奥秘——地球人借e上“青云”
6.1.4 匀速落地的降落伞——落体速度与e
6.1.5 牛顿小试牛刀做“小菜”——冷却定律中的e
6.1.6 从麦克斯韦到玻耳兹曼——刻在墓碑上的e
6.1.7 煮不熟的米饭——气压随高度变化公式中的e
6.1.8 植物学“联姻”物理学——布朗运动中的e
6.1.9 阿氏常数这样测——“微粒公式”借e建功
6.1.10 电、光世界的宠儿——e和你时时相伴
6.1.11 不吃草的“马儿”——“衰变时钟”用e揭秘
6.2 化学中的反应速度和焓变
6.2.1 反应速度这样定——阿仑尼乌斯公式中的e
6.2.2 “伤寒病”这样治疗——焓变公式中的e
6.3 生物学、医学中的奥秘
6.3.1 生存竞争一弱肉强食方程中的e
6.3.2 从人类到细菌——生物增殖中的e
6.3.3 科学预测鼠疫病人数——疾病研究中的e
6.3.4 生物体上的玄机——宇宙万物的“生长螺线”
6.4 生活与e相伴
6.5 科学和e——难舍难分的“情人”
第7章 掀起你的盖头来——e的“质”“量”大白天下
7.1 数系发展——从自然数到超越数
7.1.1 从自然数到无理数
7.1.2 从无理数到超越数
7.2 e的性质——从无理数到非二次代数数
7.2.1 e是无理数
7.2.2 e是二次代数数
7.3 e的性质——从无理数到超越数
7.4 e的定义和符号——是“贵人”也是“打工仔”
7.4.1 e的定义
7.4.2 e的符号
7.5 计算e值——从欧拉到亚历山大·伊
第8章 妙趣横生的e——数学界的快乐天使
8.1 数学家的“魔术”——e的六类表达式
8.2 “乘积最大”和“开方最大”——这里e也显神通
8.2.1 何时“乘积最大”
8.2.2 何时“开方最大”
8.3 ln（—1）=？——伯努利和莱布尼茨的争论
8.4 “不考虑它们的收敛”——交错级数的悖论
8.5 “千条江河归大海”
8.6 大显神通靠“自然”——巧用欧拉公式解题
8.7 “极限点”与数学竞赛——e在几何中现身
8.8 不平等的拔河赛——你也能以少胜多
8.9 从ω与e的关系说起——万数回归“大自然”
第9章 何当痛饮黄龙府——等你揭开e的谜团
9.1 移植布劳威尔的难题——e是正规数吗
9.2 “简单”的难题——π，e“家族”“无理”“超越”吗
9.3 “亲兄弟”为何分离——黎曼函数∈中为何有π无e
9.4 神秘的“近似”——e为何屡屡现身
9.5 弟弟为何不像哥哥——e有“根号表达式吗
9.6 寻找“准确”——π，e间有简洁的实数关系吗
9.7 “怪”还是“不怪”——对数先于指数
9.7.1 “不合逻辑”的发明
9.7.2 “逻辑怪胎”的启示
参考文献
后记第1章激情相约爱丁堡
——对数使科学家延寿
在能够对科学作出贡献的所有因素中，观念的冲破是最伟
大的。
——英国物理学家约瑟夫·约翰·汤姆森
“混沌初分盘古先，太极两仪四象悬……”
可能，人类茹毛饮血的年代就有了数学，那我们就从数学运算
谈起。
1.1从第一级到第三级——数学运算
“步步高”
山洞口坐着一个失明的老人，他的眼睛是被俄底修斯刺瞎的。
这个不幸的老人，就是独眼巨人波吕斐摩斯。他每天只有一件事：
照料他的羊群。
早晨，母羊外出吃草，每出去一只，他就从石子堆中捡起一颗
石子。
傍晚，母羊归来，他就扔下一颗石子。当他把早晨捡起的石子全部
扔光的时候，他就知道全部母羊已经返洞归家。显然，他用的是“一一
对应”的计数方法。
这是约公元前八九世纪古希腊著名盲诗人荷马，写在《荷马史诗》
中的故事。俄底修斯和波吕斐摩斯都是希腊神话中的人物。
但是，用一一对应计数法，既不能解决有多少只羊的问题，也不能
解决一群羊增加或减少几只之后，有多少只羊的问题。于是自然数计数
的方法应运而生——它解决了前一个问题。数的加法和减法也发明出来
了——它解决了后一个问题。
当然，我们知道，加法和减法不但有数的加法和减法，而且包括集
合的加法和减法。
人类最古老的文字中就有用符号表示的第一级运算——加法和减
法。例如，古埃及艾哈麦斯纸草书中就有了加法和减法的符号。艾哈麦
斯是大约公元前20世纪或公元前17～前16世纪的埃及祭司和数学家，
他的加号“”是向右走的两只腿，他的减号“”是向左走的两只腿。
后来，经过各国许多数学家的努力，才有今天的加号“+”和减号
“-”。今
天的加号“+”和减号“-”，最早是15世纪的最后20年由德
国人首先使用的。在德国德累斯顿城图书馆，保存着1486年的手稿卷
C·80，其中就有这两个符号。而最早（1489年）在印刷的书（在莱比
锡出版）中使用它们的，则是出生在捷克的德国数学家维德曼。
1690年，大名鼎鼎的德国数学家莱布尼茨还发明了一个“概念加
号”——“磑”。它和“概念减号”——“磓”或“-”表示逻辑概
念演算和逆运算。在内涵方面，A磑B表示既A且B的那个性质；在外
延方面，A磑B表示属于A或属于B的那个类。
但是，在遇到“连加”或“连减”的时候，加法或减法的效率就低
了。于是第二级运算——乘法和除法，以及乘号和除号又应运而生了。
在西方，“×”被称为和数学毫无关系的“圣安德鲁斜十字”。安
德鲁是耶稣的12门徒之一，由于他被钉在斜十字架上处死，所以斜十
字被称为圣安德鲁斜十字。1631年，英国数学家奥特雷德，首先在他
的《数学之钥》一书中使用了现代意义上的“×”。
用小圆点“·”表示乘号是为了避免乘号“×”和字母“X”混
淆，它的发明者是莱布尼茨。他在1698年7月29日给瑞士数学家雅格
雅格布·伯努利
布·伯努利（1654—1705）即詹姆斯·伯努利，
或他的弟弟约翰·伯努利（1667—1748）的一封
信中，首先使用“·”表示乘号。
不过，有时“·”和“×”的含义是不同
的，例如，在向量代数中，a·b表示a和b的
“数量积”，即“点积”，也就是“内积”；而a×b
表示a和b的“矢量积”，即“叉积”，也就是
“外积”。
现在，在中国用“×”或“·”都符合规定，通常在字母前或括
号前可以略去。而欧洲大陆派（如德国、法国、俄罗斯）规定用“·”
表示乘号，其他国家则用“×”表示乘号。
今天用的除号“÷”，被称为“雷恩记号”。它是瑞士数学家雷恩
在1659年出版的一本代数书中，首先引用的。随着1668年这本书被译
为英文，这个记号逐渐通用。
莱布尼茨是另一种除号——“∶”的发明者。他是在1666年的论文
《组合的艺术》中，用“∶”作除号的，至今仍在使用。莱布尼茨不但
是微积分的发明者之一，也是一位数学符号大师——我们知道，他发明
的几乎所有的微积分符号，我们至今还在使用。
莱布尼茨
第二级运算已经进步了，但是人们发现在
“连乘”或“连除”的时候，还需要第三级运
算。这就是乘方、开方和对数。
我们知道，乘方有开方和对数两种逆运
算，而加法和乘法分别只有减法和除法各一种
逆运算，这是第三级运算和第一、二级运算的
不同之处。
现在用的乘方中指数符号的滥觞，是苏格兰
数学家詹姆斯·休姆。他于1636年居住在巴黎的时候，用小的罗马数字放
在字母的右上角表示指数。1637年，法国数学家笛卡儿完成了现代乘方中
第1章激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿
的指数符号——在字母或数字的右上角用小的阿拉伯数字表示指数。
但是，笛卡儿的指数只是正整数，而法国数学家、物理学家和经济
学家奥雷斯姆，荷兰数学家西蒙·斯蒂文、英国数学家沃利斯等，则先
后使用或提到过分数指数和负数指数。法国数学家丘凯则最早使用了负
数指数和零指数，符号与现代的比较接近。而现行的分数指数符号和负
数指数符号，则出自大名鼎鼎的牛顿之手。1676年6月13日，他给英
国皇家学会秘书奥尔登伯格转给莱布尼茨的信中，创设了这种指数。
虚数指数的发明者，是一位最先使用虚数的意大利业余数学家法格
纳诺。他在1719年将π定义为2iln1-i
1+i的时候，就用了虚数指数。
1679年，莱布尼茨在一封写给荷兰数学家、物理学家惠更斯的信
里，在一个方程中引入了变指数。
在历经无数次变革之后，现代方根符号“”由法国数学家卢贝
尔在1732年首先使用325之后，才逐渐流行，并用于各次方根。
随着乘方运算的出现，指数函数也出现了。数学家们用“exp”或
“Exp”表示指数函数。例如，有时用“expx”表示“ex”这个指数函数。
可以想象，乘方的一种逆运算——开方的诞生，是“顺理成章”
的。可是，乘方的另一种逆运算——对数的出生，就有些“难产”了。
1.2“在离天很近的地方”
——斯蒂费尔的遗憾
“1533年10月3日是世界末日！”16世纪初，一个人这样预言。
听了他的宣传，他的追随者毁掉或消耗掉所有的财物，惶惶不安地
等待着这一天的来临。但是，“世界末日”并没有如期而至。由于这一
蛊惑人心的言论和传播被视为异端邪说的新教，他被当局投入监狱。
这个趣闻轶事的主角——“他”，就是德国数学家斯蒂费尔。
斯蒂费尔是德国厄斯林根地区的新教牧师，后来又在著名的哥尼斯
斯蒂费尔
堡大学里担任神学和数学的讲师。
作为数学讲师，斯蒂费尔当然懂得一一对应
的方法，于是在1544年，他就写了一本名叫
《整数的算术》的书。在这本书中，他就几乎用
这种方法建造了一座数学丰碑。
斯蒂费尔在书中欣喜地写道：“关于整数的
这些奇妙性质，可以写成整本整本的书……”那
么，斯蒂费尔发现了整数的什么“奇妙性质”，
使他这样惊喜万分呢？我们还是先来看看他在书中的两个数
列吧。
容易看出，是一个通项公式为2n（n为整数）的
等比数列——他称为“原数”。下一列是一个整数构成的等差数列——
他称为与原数对应的“代表人物”。这里说的代表人物，德文是Expo-
nent或exponent，也可翻译成“代表者”，而我们把它叫做“代言人”。
斯蒂费尔发现，如果要计算16×128的话，可以用下面的一种巧妙
方法。
先找到16的代言人4，再找到128的代言人7，然后把4和7相加，
就得到了16×128的新代言人11，最后找到11对应的新数2048。这个
2048，就是16×128的答案。
如果把斯蒂费尔的方法用今天的数学语言来表示，就是这样一个对
应关系：
m×n＝mn
↓↓↓↓
log2m+log2n＝log2（m+n）
真是美妙极了，计算乘法变成了计算比乘法更简单的加法！对此，
第1章激情相约爱丁堡——对数使科学家延寿
当然我们很容易理解，因为xa×xb＝xa+b。所以，表1-1实际上是底数
为2的、最原始的对数表。
美妙的感觉还没有完——用它们还可以做除法哩！
举例来说吧，算2048÷128的时候，只要用它们各自的代言人11
和7相减，就得到新代言人4，再由4找到对应的新原数16就是答案。
当然，我们知道，这是因为xa／xb＝xa-b。
一句话说完，利用这两个数列，就可以把较复杂的乘除法变成加减
法。大致同时，法国数学家舒开也意识到这一点。
对于我们来说，斯蒂费尔的这个结论已经没有什么神奇之处，因为
一眼就能看出，斯蒂费尔的代言人，就是原数以2为底的对数。例如，
log264＝6等。
我们还可以看出，斯蒂费尔实际上已经掌握了对数运算法则
log2（MN）＝log2M+log2N和log2（M／N）＝log2M-log2N。
遗憾的是，在斯蒂费尔的时代，还没有分数指数的概念；那么，不
是数列中的数要进行运算（如17×127和2049÷257）又怎么办呢——
它们没有“代言人”呀！
这些问题，把斯蒂费尔弄得焦头烂额，不知“云横秦岭家何在”。
他只好说：“这个问题太狭窄了，所以不值得研究。”从此就“雪拥蓝
关马不前”——把它搁到一边。
阿基米德
当然，斯蒂费尔也不是全然无功，他用的代言人这个词，后来被数
学界正式采用，就是现在我们说的“指数（函
数）”Exp或exp。而且，他还把这种对应关系
推广到负指数、分指数的情形。
“在离天很近的地方，总有一双眼睛在守
望”，这是歌曲《神奇的九寨》中的一句。可
惜的是，斯蒂费尔在离天那么近的地方，却没
能望见那神奇的“天堂”，已经走到发明天堂
边缘上的脚又缩了回去，而把机会留给比他更
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