陈仁政编著的《φ的密码：解码三大数学常数》生动详尽地介绍φ的方方面面。由浅入深的科学道理给您学富五车，美不胜收的精彩情节让您心动神摇，妙趣横生的丰富内容让您流连忘返……
《φ的密码：解码三大数学常数》不但把φ融入整个数学以至科学之中，而且把人文精神融入其中，对提高人的综合素质，特别是培养人的健康心理大有裨益。
本书适合具有中等及以上文化的青少年或成人阅读，也是研究φ的重要参考书。
“楚兰不佩佩吴钩”，让我们佩戴李白的“吴钩”，与毕达哥拉斯、斐波那契、达·芬奇不弃不离，去寻找那“φ的密码”
“我喜欢在深夜拨弄心弦，弦上黄金分割不止一点。”读了这本书，您会成为这样的“φ迷”。
作者简介：
陈仁政，中学教师，长期从事数学等学科教育。在《数学通报》、《知识就是力量》、《光明日报》等50多种报刊上发表过文章200多篇（次）。出版过《站在巨人肩上》丛书、《七彩学生文库·科学天梯》丛书、《说不尽的π》、《不可思议的e》等专著20多种。其中《说不尽的π》与《不可思议的e》获2009年度“国家科学技术进步奖”二等奖；《七彩学生文库·科学天梯》丛书获2010年第一届“中国科普作家协会优秀科普作品奖”提名奖。
目录：
丛书序
第1章毕氏学派——“暗藏黄金”两千年
1.1临终遗图和洞口大汉
1.2毕氏学派“涛声依旧”
1.3毕氏学派“暗藏黄金”
1.3.1联络标志五角星
l.3.2“暗藏黄金”两千年
第2章黄金分割——不老的传奇
2.1黄金分割的“基本作图”、名称和符号
2.1.1黄金分割的“基本作图”
2.1.2黄金分割的名称
2.1.3黄金分割的符号
2.2从中末比到黄金分割
2.2.1从欧多克索斯到托勒密
2.2.2从达·芬奇到马丁·欧姆丛书序
第1章 毕氏学派——“暗藏黄金”两千年
1.1 临终遗图和洞口大汉
1.2 毕氏学派“涛声依旧”
1.3 毕氏学派“暗藏黄金”
1.3.1 联络标志五角星
l.3.2 “暗藏黄金”两千年
第2章 黄金分割——不老的传奇
2.1 黄金分割的“基本作图”、名称和符号
2.1.1 黄金分割的“基本作图”
2.1.2 黄金分割的名称
2.1.3 黄金分割的符号
2.2 从中末比到黄金分割
2.2.1 从欧多克索斯到托勒密
2.2.2 从达·芬奇到马丁·欧姆
2.3不 老的传奇
第3章 数学中的“密码”——无处不在的φ
3.1 φ的几何作图
3.1.1 方法1——勾股法
3.1.2 方法2——相似三角形法
3.1.3 方法3——正五边形法
3.1.4 方法4——梯形法
3.1.5 方法5——内角平分线法
3.1.6 方法6——相交弦法
3.1.7 方法7——图像法
3.1.8 方法8——面积割补法
3.1.9 方法9——双圆弧法
3.2 正五边形的几何作图
3.2.1 在已知圆中作正五边形
3.2.2 已知边长作正五边形
3.2.3 用“生锈圆规”作正五边形
3.3 五角星的几何作图
3.4 φ与黄金螺线
3.4.1 φ与“矩形黄金螺线”
3.4.2 φ与“正方形黄金螺线”
3.4.3 φ与“三角形黄金螺线”
3.4.4 超级“黄金粉丝”詹姆斯
3.4.5 无处不在的螺旋
3.5 φ与数学形影不离
3.5.1 平面几何中的φ
3.5.2 代数中的φ
3.5.3 三角中的φ
3.5.4 解析几何中的φ
第4章 斐波那契数列——兔子奏响和谐乐章
4.1 兔子问题引出F数列
4.1.1 不凡的商人数学家
4.1.2 《算经》中的兔子问题
4.1.3 伟大的“愚人”
4.1.4 探索正未有穷期
4.2 奇妙的F数列
4.2.1 递推公式和通项公式——从吉拉德到比内
4.2.2 和谐的乐章——F数列的奇妙性质
4.3 F数列的数学应用
4.3.1 数学领域初显身手
4.3.2 F数列与“F数列长方形”
4.3.3 F数列与“完全正方形”
4.3.4 F数列与幻方
4.3.5 F数列与贾宪三角
4.3.6 F数列与“线段数列”
4.3.7 F数列与方程的近似解
4.3.8 F数列与概率
4.3.9 每一项都含φ的“仿F数列”
4.3.10 F数列与登楼梯
4.3.11 F数列与蜜蜂的道路
4.3.12 尼罗河畔的余香
4.3.13 F数列“无所不能”
4.4 植物与F数列
4.4.1 树枝增长的奥秘
4.4.2 叶序中的F数列
4.4.3 从菠萝到向日葵
4.4.4 法国数学家揭开的植物奥秘
4.5 动物与F数列
4.6 电子显微镜下的奇观
4.6.1 F数列与准晶体
4.6.2 中国科学家的“大力神杯”
4.7 F数列用于艺体和建筑
4.8 F数列的“娱乐无极限”
4.8.1 魔术师的“斐波那契地毯”
4.8.2 钢琴键盘上的F数列
4.8.3 《达·芬奇密码》中的F数列
4.8.4 “仿F数”的“怪蛋”
4.8.5 火柴游戏稳操胜券
4.8.6 颜色调配与F数列
4.8.7 神奇的5
第5章 从华尔德、基弗到华罗庚——优选法中的φ
5.1 从华尔德、基弗到华罗庚
5.2 单因素问题的黄金分割法
5.2.1 理论上的0.618法
5.2.2 便于操作的0.618法
5.3 单因素问题的斐波那契法
5.4 最佳点会丢失吗
5.5 0.618法和分数法的优点
5.5.1 0.618法和分数法的“去长留短”
5.5.2 0.618法和其他方法的比较
5.6 优选法林林总总
第6章 艺术中的美——艺术家也爱φ
6.1 比例论引出“大明星”
6.1.1 从毕氏学派到伽利略——比例无处不在
6.1.2 “大明星”技压群芳——出自比例论的φ
6.2 绘画、雕塑中的φ
6.2.1 古希腊的神韵
6.2.2 文艺复兴时期的盛典
6.2.3 从安格尔到“黄金分割画派”
6.2.4 东方与现代
6.3 建筑中的φ
6.3.1 帕台农神庙遗韵流芳
6.3.2 巴黎圣母院、巴洛克和东方建筑
6.3.3 现代主义建筑中的φ
6.4 台艺、音乐、文学、书法中的φ
6.5 φ与摄影
6.6 φ在艺术的其他场合
6.7 多彩的艺术与神奇的科技相通
第7章 生命暗藏的美——生物与φ
7.1 人体中的φ
7.1.1 从维特鲁威到达-芬奇
7.1.2 “形式爱好者”对人的形体研究
7.1.3 人体内部的φ
7.2 动物中的“φ密码”
7.2.1 动物身上的黄金螺线
7.2.2 动物身上的φ
7.3 植物中的φ
7.3.1 植物“肢体”的形状
7.3.2 植物“肢体”的分布
7.3.3 植物“智慧”与“生仿学”
7.4 生物形状的无穷奥秘
7.4.1 “形式爱好者”
7.4.2 生物形状千姿百态
第8章 从物理学走向字宙——“没有什么能够阻挡”
8.1 电学中的φ
8.1.1 电容电路中的φ
8.1.2 电阻电路中的φ
8.2 天地宇宙中的φ
8.2.1 天上和地上的φ
8.2.2 维持宇宙秩序的“第七参数”
第9章 自娱自乐会有时——φ的“八卦”
9.1 五角星中的“黄金”
9.1.1 半空心五角星中的“宝藏”
9.1.2 半空心五角星中的“黄金”
9.2 五边形数定理
9.3 用纸折出正五边形
9.4 隐蔽在洛依德谜图中的五角星
9.5 五角星与等宽曲线
9.6 五角星中摆石子
9.7 种树问题中的五角星
9.8 电脑键盘上的“黄金”
9.9 φ，π，6和“中空数”
9.10 φ的节日
9.11 “不务正业”的“黄金”
9.12 用纸折出黄金矩形
第10章 无穷的探索——φ的悬疑、误区和神话“
10.1 φ的悬疑
10.1.1 黄金矩形最美吗
10.1.2 弦长的1／12处弹出的音乐最美吗
10.2 φ的误区
10.2.1 琴弦长度的误区
10.2.2 古琴参数的误区
10.2.3 用“黄金定律”能提高彩票中奖机会吗
10.3 φ的迷信或神话
10.3.1 五角星不能避魔
10.3.2 百慕大三角的迷雾
参考文献
后记第1章毕氏学派
——“暗藏黄金”两千年
月落乌啼，总是千年的风霜。涛声依旧，不见当初的
夜晚。
——《涛声依旧》歌词
1.1临终遗图和洞口大汉
“请您……在……在……”一个学派的成员流落异乡，贫病交迫，
无力酬报房主的殷勤照顾，在临终的时候有气无力地恳求房主，
“在……门口刻下……这个图形……”
善良的房主照办了——在自己的大门上刻下了死者要求的那个
图形。
岁月轮回。若干年以后，这个学派的其他成员偶然来到这里，见到
了这个图形。他们询问了事情的经过之后，用重金厚报房主而去……
几乎同时，也就是距今两千多年以前的一个夜晚，在今天属于意大
利半岛南端的一个山洞门口，两个彪形大汉紧把洞门。夜色降临了，数
以百计的人鱼贯而入。不过，在入洞之前，他们都要伸开右手，让两个
大汉“验明正身”，否则就会吃闭门羹……
接下来，就是洞中神秘的集会……
那么，这个学派的成员是怎么知道同伴曾在此居留过呢？这个图形
是什么，为什么有这么大的魅力呢？这个学派叫什么名字呢？这些人的
右手心上有什么秘密，便于两个大汉识别，从而“开绿灯”呢？洞中
的神秘的集会要干什么——是杀人越货，是谋反，还是……这些问题，
都将在本章得到答案。
1.2毕氏学派“涛声依旧”
在古希腊灿烂的数学星空中，有一颗璀璨的明星——“西方理论数
学的创始人”毕达哥拉斯（以下简称毕氏）。
在亚洲西部，有一个著名的小亚细亚半岛，
岛上是当今土耳其97%的国土。这个半岛北、
南分别濒临黑海和地中海，而西边则是爱琴海。
靠近小亚细亚西岸的爱琴海中，有一个名叫萨摩
斯的小岛。约公元前580年，毕氏就出生在这个
今天属于希腊的小岛上。
早年的毕氏，曾拜古希腊“数学之父”、大
哲学家泰勒斯为老师，学习几何学和哲学。他还
在爱琴海中的锡罗斯岛向费雷西底学习，也曾师从伊利亚学派的安纳西
曼德——绘制世界上第一张全球地图的人。为了进一步求学，毕氏游历
埃及、巴比伦（一说到过更远的印度），大约在公元前530年返回萨摩
斯岛并开始讲学。
然而，由于当时萨摩斯岛的海盗和僭主（非法就位的统治者）波
利克拉底的暴政，就携母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯岛，移居西西
里岛，最后定居意大利半岛南端的克罗托内。此时，他已过“知天命之
年”。
毕氏到了克罗托内之后，就一面讲学，一面广收门徒，并在大约公
元前530年建立了一个秘密的宗教、政治、学术“三合一”的团体——
“友谊联盟”，后人称为“毕氏学派”或“毕氏学校”。
毕氏的讲学吸引了包括各个阶层的大量的听众——特别是社会的上
层人士。当时，妇女是被禁止出席公开会议的，但毕氏打破了这个“清
规戒律”，允许她们听讲。在这些热心听讲的妇女中，有房主米洛的女
儿西雅娜。后来，这位绮年玉貌的西雅娜，成了他的妻子和“贤内
助”，还为他写过传记——可惜已经失传。
毕氏把毕氏学派分为两等。一等是大多数的普通听众——只能听一
般知识的讲授，不能发问，更不能参加讨论。另一等才是真正的毕氏学
派核心成员——“获得较高深知识的”300多个有社会地位和学问的
人。毕氏学派组织严密，每个加入者都要接受长期的训练和考核，遵守
许多清规戒律，并宣誓永不泄漏学派的秘密和学说，否则将受到严厉的
惩罚，在学术上也要达到一定的水平。加入者还要通过一系列的神秘仪
式，以求达到“心灵的净化”。他们相信依靠数学——学派教义的组成
部分，可以使灵魂升华，与“上帝”融为一体；认为“万物皆
数”——万物都包含数，而且万物都是数，所以数是万物的本质；“上
帝”就是用“数”来统御宇宙的。
毕氏学派的成员有共同的哲学信仰和政治
理想，虽饮食简单，但训练严格。学派教义鼓
励大家自制、清心寡欲、纯洁、服从。他们起
初在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高
的声誉，产生过很大的政治影响。
因为毕氏学派的声誉和影响，所以招来敌
对派的嫉恨，并由此种下了祸根。后来，又受
到民主运动风暴的冲击，学派被破坏，毕氏被
迫移居位于他林敦（今意大利半岛南部塔兰托）附近的梅塔蓬图姆。
然而，他最终还是厄运难逃——约公元前500年，死于民主派暴徒在梅
塔蓬图姆街道上的一次追杀袭击中。
虽然毕氏倒下了——连学派在克罗托内的活动场所也连续被破坏，
但他的许多门徒却幸存下来，逃回希腊本土伯罗奔尼撒半岛东北部的弗
利奥斯重新建立据点。也有一些人到塔兰托去继续进行数学、哲学研究
以及政治活动——直到公元前4世纪中叶，繁荣了近两个世纪。
在这近两个世纪的活动中，毕氏学派中
诞生了众多留名至今的著名数学家：希帕索
斯、西奥多罗斯；阿尔希塔斯、菲洛劳斯等。
毕氏本人并没有留下什么著作，而学派
内经过门徒讨论、研究的成果由领导人加以
总结后又秘而不宣，所以外人很少知道详细
情形。这样，后来人很难分清哪些成果属于
毕氏本人，哪些属于他的门徒。但是，在毕
氏学派被逐渐分散以后的约公元前370年，
菲洛劳斯写成了至今只存少量片段的一部公
开著作，加上后来学者们的研究，毕氏和毕
氏学派的主要成果才在揭开“冰山一角”之后，露出“海面之下巨大
的冰山”，逐渐被后世所认识。
毕氏学派的主要成果有：开创了把几何问题与数的性质问题结合起
来的研究方法——在西方首先发现了毕氏定理（中国称为勾股定理）
并在世界上最早证明这个定理，就是运用这种方法著名的具体成果；关
于数的理论——例如区别奇数、偶数和素数的方法，对完全数、亲和
数、“形数”等的研究；用数学方法研究音乐；对正多面体的研究；对
无理数的发现和研究；提出独特的天文学见解——例如认为日月等星辰
都呈球形，悬浮在太空中运行。
毕氏学派是继泰勒斯创建的爱奥尼亚学派之后，古希腊第二个最重
要的学派。它持续存在了近两个世纪，影响之久，远远超过了爱奥尼亚
学派。甚至约4个世纪之后的公元1世纪，还出现了它的“克隆
版”——宣扬数字神秘的“新毕氏学派”。
在前面简述的毕氏学派的主要开创性成果中，许多都是至今我们熟
悉或研究的重要内容，所以在距毕氏两千多年以后，希腊还为当年毕氏
学派（称为毕氏的“众议院”）发行了纪念邮票。由此可见，在“千年
的风霜”之后，毕氏学派的成果照样“涛声依旧”——虽然已“不见
当初的夜晚”……
1.3毕氏学派“暗藏黄金”
1.3.1联络标志五角星
毕氏学派对正多面体的研究之一，是发现或重新发现了5种凸正多
面体——有两种不同的说法。
一种说法是，毕氏本人原先只知道四面体、六面体、八面体和二十
面体这4种正多面体，并说火、土、气、水（他主张的构成一切物质的
4种“基本元素”）分别生于这4种凸正多面体。但是，后来发现还有
正十二面体，却没有第5种“基本元素”和它对应，只好同整个宇宙
对应。我们知道，凸正多面体有而且只有这5种——证明只有这5种的
方法，可能起源于古希腊数学家欧几里得。有趣的是，在所有5种正多
面体中，只有由正五边形构成的正多面体（正十二面体）的每一面的
边数最多，所以最复杂，才最后被发现。
另一种说法是，毕氏本人早就知道正十二面体，以及正四面体、正
六面体。理由是正十二面体的每一个面都是正五边形，而毕氏学派对正
五边形的作图法已得心应手，并且钟爱正五角星形（有时简称五角星形
或五角星）。钟爱到什么程度呢？他们在（空心）五角星的角顶分别标
上5个字母ν，γ，ι，θ，α，作为他们秘密组织的徽章（校章）或联络
标志。它们连起来就是“νγιθα”，意思是“健
康”。这种“健康”五角星，就是我们前面提到
的那个“天涯沦落人”临终恳求房主刻下的图
形。这个人是毕氏学派的成员，毕氏
学派的其他成员就是凭这个五角星知道同伴曾
在此居留过。前述两个大汉验证入洞者的身份，
也是看他们的右手心上有没有一个红色的五角
星。由此可见，五角星对毕氏学派有多么巨大
的魅力！
五角星的这种魅力，在比毕氏学派更早的古代就显现出来：在现属
伊拉克的幼发拉底河下游一个叫乌鲁克的地方，发现了一块约公元前
3200年的泥板，上面就画有一个不是很正规的五角星。
为什么是五角而不是其他数目的角呢？这是一个耐人寻味的谜——
也许是原始人类遗留下来的习惯。但为什么会有这种习惯呢？
其实，古往今来，世界各地的许多人都把对称的五角星图案看作对
称、和谐、协调、昌盛、健康和美丽的象征。这种魅力和观点在当今世
界也不难找的到例证：天上闪烁的星星，多画为五角星；世界上近40
个国家（例如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴）的国旗，凡是“涉
星”的，几乎都画成五角星——只有澳大利亚和约旦的七角星、尼泊尔
的十二角星、被称为“辉煌条纹”的马来西亚的十四角星（当初代表
14个州，新加坡在1965年独立出去以后代表13个州和政府）等少数
例外。例如，中国的国徽和国旗五星红旗——那片“从旭日上采下的
虹”上就有一大四小的5个五角星。据说，有些国家就是考虑了五角星
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