空间曲线的曲率与挠率是怎样定义的？ 它们的几何意义是什么？ 曲线理论中的弗雷内-塞雷公式是怎样的？ 什么是曲面上的**基本形式、第二基本形式与第三基本形式？ 如何用它们来研究曲面上的各种曲率、各种方程？如何推导出高斯的“绝妙定理”？ 闭曲面上的高斯-博内定理是怎样证明的? 由它得出的闭曲面的欧拉示性数为什么是一个拓扑不变量？ 这一示性数又是如何与一个带柄的球面的亏格相关联的？ 《从空间曲线到高斯-博内定理》以向量代数与变向量的求导运算为数学工具，深入浅出地阐明上述各个课题,随着论述的深入,读者会进入到微分几何的一片新天地之中。
本书共分四个部分,十个章节,是论述空间曲线和曲面理论的一本入门读物。**部分阐明了本书使用的数学工具:向量的代数运算以及变向量的求导运算。第二部分讨论了曲线的基本概念,引入了弧长参数,也讨论了描述空间曲线变化的曲率与挠率这两个几何量。*后，证明了弗雷内-塞雷公式,并以此证明了曲线的基本定理:曲线的形状是由它的曲率与挠率决定的。第三部分主要讨论的是曲面上的三个基本形式以及曲面上的一些曲率。同时也讨论了曲面上的一些方程式,引入了黎曼曲率张量,并以此证明了高斯的“*了不起定理”。第四部分讨论了曲面上的测地线,测地方程,以及欧拉公式,罗德里格斯公式,与恩尼珀定理等。在本书的*后一章——第十章中,证明了计算测地曲率的刘维尔公式,并用它证明了闭曲面的高斯-博内定理。据此,引入闭曲面的欧拉示性数,证明它是一个拓扑不变量。
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