数学史上250个里程碑式的发现，带你发现数学之美
本书简介：
人类什么时候在绳子上打下第一个结？为什么第一位女数学家会死于非命？有可能把一个球体的内部翻转出来吗？
这些只是这本插图精美的书中涉及到众多引人深思的问题的一小部分。作者皮寇弗为我们展示了数学发展史最重要的里程碑事件背后的魔力与神奇，包括人类曾经思索过的最古怪的问题，从公元前一亿五千万年到最新的前沿突破。数学已经渗入每一个科学领域，并且在生物学、物理、化学、经济、社会学和工程等方面扮演着无法替代的角色。我们可以用数学说明夕阳色彩分布的情况，也可以用来说明人类的大脑结构，可以帮助我们探索比原子还小的量子世界，也可以帮助我们描绘遥不可及的银河系。在现实世界运用的著名计算公式和数学定理背后隐藏着数学家们一生的传奇故事。跟随皮寇弗踏上这趟数学之旅，探索数学历史上最重要的250个里程碑事件，从蚂蚁计数到第一把算盘，从发现电脑创造的碎形到寻找新的维度空间。在这趟旅程中我们还会遇到毕达哥拉斯和欧几里得等伟大的思想家，以及近代数学巨擘马丁·加德纳、泰格马克等等。
作者简介：
科普鬼才作者克利福德·皮寇弗是一位多产作家，涉猎主题从科学、数学到宗教、艺术及历史，出版超过四十本书，并被翻译成数十种语言，畅销全球。皮寇弗在耶鲁大学取得分子生物理化博士学位，在美国拥有四十多项专利，并担任数本科学期刊的编辑委员。他的研究屡屡见于CNN、《连线》杂志、《纽约时报》等诸多重要媒体。
目录：
简介数学之美与效用VII
本书的架构与目的XI
导读XV
001约公元前1.5亿年／蚂蚁的里程表
002约公元前3000万年／灵长类算数
003约公元前100万年／为质数而生的蝉
004约公元前10万年／结绳记事
005约公元前1.8万年／伊尚戈骨骸
006约公元前3000年／秘鲁的奇普
007约公元前3000年／骰子
008约公元前2200年／魔方阵
009约公元前1800年／普林顿322号泥板
010约公元前1650年／莱因德纸草书
011约公元前1300年／圈叉游戏
目录：
简介数学之美与效用VII
本书的架构与目的XI
导读XV
001约公元前1.5亿年／蚂蚁的里程表
002约公元前3000万年／灵长类算数
003约公元前100万年／为质数而生的蝉
004约公元前10万年／结绳记事
005约公元前1.8万年／伊尚戈骨骸
006约公元前3000年／秘鲁的奇普
007约公元前3000年／骰子
008约公元前2200年／魔方阵
009约公元前1800年／普林顿322号泥板
010约公元前1650年／莱因德纸草书
011约公元前1300年／圈叉游戏
012约公元前600年／勾股定理与三角形
013约公元前548年／围棋
014约公元前530年／毕达哥拉斯创立数学
兄弟会
015约公元前445年／季诺悖论
016约公元前440年／月形求积
017约公元前350年／柏拉图正多面体
018约公元前350年／亚里士多德的
《工具论》
019约公元前320年／亚里士多德轮子悖论
020约公元前300年／欧几里得《几何原本》
021约公元前250年／阿基米德：沙粒、
群牛问题和胃痛游戏
022约公元前250年／圆周率π
023约公元前240年／埃拉托斯特尼筛检法
024约公元前240年／阿基米德不完全正
多面体
025约公元前225年／阿基米德螺线
026约公元前180年／蔓叶线
027约150年／托勒密的《天文学大成》
028250年／戴奥芬特斯的《数论》
029约340年／帕普斯六边形定理
030约350年／巴克沙里手稿
031415年／希帕提娅之死
032约650年／数字0
033约800年／阿尔琴的《砥砺年轻人
的挑战》
034830年／阿尔花拉子密的《代数》
035834年／博罗密环
036850年／《摩诃吠罗的算术书》
037约850年／塔比亲和数公式
038约953年／印度数学璀璨的章节
0391070年／奥玛海亚姆的
《代数问题的论著》
040约1150年／阿尔萨马瓦尔的
《耀眼的代数》
041约1200年／算盘
0421202年／斐波那契的《计算书》
0431256年／西洋棋盘上的小麦
044约1350年／发散的调和级数
045约1427年／余弦定律
0461478年／《特雷维索算术》
047约1500年／圆周率π的级数公式之
发现
0481509年／黄金比
0491518年／《转译六书》
0501537年／倾角螺线
0511545年／卡丹诺的《大术》
0521556年／《简明摘要》
0531569年／麦卡托投影法
0541572年／虚数
0551611年／克卜勒猜想
0561614年／对数
0571621年／计算尺
0581636年／费马螺线
0591637年／费马最后定理
0601637年／笛卡儿的《几何学》
0611637年／心脏线
0621638年／对数螺线
0631639年／射影几何
0641641年／托里切利的小号
0651654年／帕斯卡尔三角形
0661657年／奈尔类立方拋物线的长度
0671659年／维维亚尼定理
068约1665年／发现微积分
0691669年／牛顿法
0701673年／等时曲线问题
0711674年／星形线
0721696年／洛必达的《阐明曲线的无穷
小分析》
0731702年／绕地球一圈的彩带
0741713年／大数法则
0751727年／欧拉数e
0761730年／斯特灵公式
0771733年／常态分布曲线
0781735年／欧拉—马歇罗尼常数
0791736年／柯尼斯堡七桥问题
0801738年／圣彼得堡悖论
0811742年／哥德巴赫猜想
0821748年／安聂希的《解析的研究》
0831751年／欧拉多面体公式
0841751年／欧拉多边形分割问题
0851759年／骑士的旅程
0861761年／贝氏定理
0871769年／富兰克林的魔术方阵
0881774年／最小曲面
0891777年／布丰投针问题
0901779年／三十六位军官问题
091约1789年／算额几何
0921795年／最小平方法
0931796年／正十七边形作图
0941797年／代数基本定理
0951801年／高斯的《算术研究》
0961801年／三臂量角器
0971807年／傅立叶级数
0981812年／拉普拉斯的《概率分析论》
0991816年／鲁珀特王子的谜题
1001817年／贝索函数
1011822年／巴贝奇的计算器
1021823年／柯西的《无穷小分析教程概论》
1031827年／重心微积分
1041829年／非欧几里得几何
1051831年／莫比乌斯函数
1061832年／群论
1071834年／鸽笼原理
1081843年／四元数
1091844年／超越数
1101844年／卡塔兰猜想
1111850年／西尔维斯特的矩阵
1121852年／四色定理
1131854年／布尔代数
1141857年／环游世界游戏
1151857年／谐波图
1161858年／莫比乌斯带
1171858年／霍迪奇定理
1181859年／黎曼假设
1191868年／贝尔特拉米的拟球面
1201872年／魏尔斯特拉斯函数
1211872年／格罗斯的《九连环理论》
1221874年／柯瓦列夫斯卡娅的博士学位
1231874年／十五格数字推盘游戏
1241874年／康托尔的超限数
1251875年／勒洛三角形
1261876年／谐波分析仪
1271879年／瑞提第一号收款机
1281880年／文氏图
1291881年／本福特定律
1301882年／克莱因瓶
1311883年／河内塔
1321884年／《平面国》
1331888年／超立方体
1341889年／皮亚诺公理
1351890年／皮亚诺曲线
1361891年／壁纸图群
1371893年／西尔维斯特直线问题
1381896年／质数定理的证明
1391899年／皮克定理
1401899年／莫雷角三分线定理
1411900年／希尔伯特的二十三个问题
1421900年／卡方
1431901年／波以曲面
1441901年／理发师悖论
1451901年／荣格定理
1461904年／庞加莱猜想
1471904年／科赫雪花
1481904年／策梅洛的选择公理
1491905年／若尔当曲线定理
1501906年／图厄—摩斯数列
1511909年／布劳威尔不动点定理
1521909年／正规数
1531909年／布尔夫人的
《代数的哲学与趣味》
1541910—1913年／《数学原理》
1551912年／毛球定理
1561913年／无限猴子定理
1571916年／毕伯巴赫猜想
1581916年／强森定理
1591918年／郝斯多夫维度
1601919年／布朗常数
161约1920年／天文数字“Googol”
1621920年／安多的项链
1631921年／诺特的《理想子环》
1641921年／超空间迷航记
1651922年／巨蛋穹顶
1661924年／亚历山大的角球
1671924年／巴拿赫—塔斯基悖论
1681925年／用正方形拼出的矩形
1691925年／希尔伯特旅馆悖论
1701926年／门格海绵
1711927年／微分分析机
1721928年／雷姆斯理论
1731931年／哥德尔定理
1741933年／钱珀努恩数
1751935年／布尔巴基：秘密协会
1761936年／菲尔兹奖
1771936年／图灵机
1781936年／渥德堡铺砖法
1791937年／考拉兹猜想
1801938年／福特圈
1811938年／随机数产生器的诞生
1821939年／生日悖论
183约1940年／外接多边形
1841942年／六贯棋
1851945年／智猪博弈
1861946年／ENIAC
1871946年／冯纽曼平方取中随机函数
1881947年／格雷码
1891948年／信息论
1901948年／科塔计算器
1911949年／塞萨多面体
1921950年／纳什均衡
1931950年／海岸线悖论
1941950年／囚犯的两难
1951952年／细胞自动机
1961957年／加德纳的“数学游戏”专栏
1971958年／吉伯瑞斯猜想
1981958年／球面翻转
1991958年／柏拉图撞球台
2001959年／外边界撞球台
2011960年／纽康伯悖论
2021960年／谢尔宾斯基数
2031963年／混沌理论与蝴蝶效应
2041963年／乌拉姆螺线
2051963年／无法证明的连续统假设
206约1965年／超级椭圆蛋
2071965年／模糊逻辑
2081966年／瞬时疯狂方块游戏
2091967年／朗兰兹纲领
2101967年／豆芽游戏
2111968年／剧变理论
2121969年／托卡斯基的暗房
2131970年／高德纳与珠玑妙算游戏
2141971年／群策群力的艾狄胥
2151972年／HP-35：第一台口袋型工程计
算器
2161973年／潘洛斯铺砖法
2171973年／艺廊定理
2181974年／魔方
2191974年／柴廷数Ω
2201974年／超现实数
2211974年／博科绳结
2221975年／分形
2231975年／费根堡常数
2241977年／公钥密码学
2251977年／西拉夕多面体
2261979年／池田收束
2271979年／连续三角螺旋
2281980年／曼德博集合
2291981年／怪兽群
2301982年／球内三角形
2311984年／琼斯多项式
2321985年／威克斯流形
2331985年／安德里卡猜想
2341985年／ABC猜想
2351986年／发声数列
2361988年／计算机软件包Mathematica
2371988年／莫非定律诅咒下的绳结
2381989年／蝶形线
2391996年／整数数列在线大全
2401999年／永恒难题
2411999年／完美的魔术超立方体
2421999年／巴兰多悖论
2431999年／破解极致多面体
2442001年／床单问题
2452002年／破解艾瓦里游戏
2462002年／NP完备的俄罗斯方块
2472005年／《数字搜查线》
2482007年／破解西洋跳棋
2492007年／探索特殊E8李群的旅程
2502007年／数理宇宙假说
前言
在此引用物理作为模拟。当海森堡（WernerHeisenberg）担心一般人可能永远也无法真正理解原子是怎么一回事时，波耳（NielsBohr）显得相对乐观。公元1920年，波耳在一封回给海森堡的信中提到：“我认为这是有可能的，但是要配合我们重新认识‘理解’这个词汇真正意涵的过程。”我们现在使用计算机进行研究的真正原因，是因为我们直观能力有限，透过计算机实验实际上已经让数学家们取得更进一步的发现与洞见，这是在计算机普及以前作梦也想不到的结果。计算机及其绘图功能，让数学家们早在有办法正式完成证明之前，就先看到结果，也开启了一项全新的数学研究领域，就连电子表格这种简单的计算机工具，也能让现代数学家拥有高斯、欧拉（LeonhardEuler）、牛顿等人渴望的数学功力。随便举个例子20世纪90年代末由贝利（DavidBailey）跟佛格森（HelamanFerguson）两人设计的计算机程序用一条新公式把圆周率π、log5和其他两个常数串在一块，如同克拉瑞克（EricaKlarreich）在《科学新知》（ScienceNews）上的报导，只要计算机能把公式先找出来，事后完成证明的工作就简单多了，毕竟在完成数学证明的过程中，简单地知道答案这项工作，通常也是最难以跨越的障碍。
在此引用物理作为模拟。当海森堡（WernerHeisenberg）担心一般人可能永远也无法真正理解原子是怎么一回事时，波耳（NielsBohr）显得相对乐观。公元1920年，波耳在一封回给海森堡的信中提到：“我认为这是有可能的，但是要配合我们重新认识‘理解’这个词汇真正意涵的过程。”我们现在使用计算机进行研究的真正原因，是因为我们直观能力有限，透过计算机实验实际上已经让数学家们取得更进一步的发现与洞见，这是在计算机普及以前作梦也想不到的结果。计算机及其绘图功能，让数学家们早在有办法正式完成证明之前，就先看到结果，也开启了一项全新的数学研究领域，就连电子表格这种简单的计算机工具，也能让现代数学家拥有高斯、欧拉（LeonhardEuler）、牛顿等人渴望的数学功力。随便举个例子20世纪90年代末由贝利（DavidBailey）跟佛格森（HelamanFerguson）两人设计的计算机程序用一条新公式把圆周率π、log5和其他两个常数串在一块，如同克拉瑞克（EricaKlarreich）在《科学新知》（ScienceNews）上的报导，只要计算机能把公式先找出来，事后完成证明的工作就简单多了，毕竟在完成数学证明的过程中，简单地知道答案这项工作，通常也是最难以跨越的障碍。我们有时候会用数学理论预测某些要经过好几年后才能确认的现象，譬如以物理学家马克斯韦尔（JamesClerkMaxwell）命名的马克斯韦尔方程式（Maxwellequation）预测了无线电波的存在；爱因斯坦场论方程式（fieldsequation）指出重力可以折弯光线及宇宙扩张论。物理学家狄拉克（PaulDirac）曾说过，今天研究的数学课题可以让我们偷偷瞄见未来的物理理论，事实上，狄拉克的方程式预测了之后才陆陆续续发现的反物质（antimatter）存在。数学家罗巴切夫斯基也说过类似的话：“就算再抽象的数学分支，也总有一天会运用在诠释现实世界的物理现象上。”在这本书里，读者们将会碰上许多被认为掌握宇宙之钥、相当有趣的几何学家。伽利略（GalileoGalilei）曾说过：“大自然的鬼斧神工不外乎是数学符号写成的篇章。”克卜勒（JohannesKepler）曾使用正十二面体之类的柏拉图正多面体，建构太阳系的模型。20世纪60年代的物理学家维格纳（EugeneWigner）对于“数学在自然科学中具有超乎常理的效用”感到印象深刻；像是E8这种大李群（largeLieGroup，参照***页条目）：探索特殊E8李群的旅程（公元2007年）—则可能在某一天协助我们创造一统物理学的终极理论。2007年，瑞典裔的美国宇宙学家泰格马克（MaxTegmark）发表一篇大受欢迎、谈论数理宇宙假说的科学文章，指出我们看到的物理实体其实都是数学结构；也就是说，我们不只可以用数学描述所处的宇宙，甚至可以说—宇宙本身就是数学。“对我而言，不论是心智的特质、思想的极限，或者是人类相对于浩瀚宇宙所处的环境，都可以用数学来发掘其中永无止境的惊奇奥秘。”——克利福德·皮寇弗
皮寇弗缜密思维所构成的王国，已超越一般人所认知的现实世界。──《纽约时报》
皮寇弗是当今世上最富原创性与想象力的作者之一。──《趣味数学期刊》
富勒曾经是充满想象力的代名词，如今克拉克取而代之，不过，皮寇弗的表现则显然更胜前人。
──《连线》杂志
任何一个人的心灵都会因为阅读皮寇弗的著作而更加丰富。
──《2100：太空漫游》作者、科幻大师克拉克（ArthurC.Clarke）
两份的阿西莫夫、一份的马丁·加德纳、一份的萨根，加在一起就变成了皮寇弗，他是当代最富娱乐且能刺激思想的作者之一。
──《怀疑论者》杂志总编辑麦克·舍默（MichaelShermer）“对我而言，不论是心智的特质、思想的极限，或者是人类相对于浩瀚宇宙所处的环境，都可以用数学来发掘其中永无止境的惊奇奥秘。”——克利福德·皮寇弗皮寇弗缜密思维所构成的王国，已超越一般人所认知的现实世界。──《纽约时报》皮寇弗是当今世上最富原创性与想象力的作者之一。──《趣味数学期刊》富勒曾经是充满想象力的代名词，如今克拉克取而代之，不过，皮寇弗的表现则显然更胜前人。──《连线》杂志任何一个人的心灵都会因为阅读皮寇弗的著作而更加丰富。──《2100：太空漫游》作者、科幻大师克拉克（ArthurC.Clarke）两份的阿西莫夫、一份的马丁·加德纳、一份的萨根，加在一起就变成了皮寇弗，他是当代最富娱乐且能刺激思想的作者之一。──《怀疑论者》杂志总编辑麦克·舍默（MichaelShermer）数学之美与效用慧黠的观察者看过数学家所从事的工作后，大概会认为他们是一群狂热流派奉献者，宇宙的神秘钥匙的追寻者。
─戴维斯（PhilipDavis）与贺须（ReubenHersh），《数学经验谈》（TheMathematicalExperience）一书作者
数学已经渗入每一个需要费尽心思的科学领域，并且在生物学、物理、化学、经济、社会学跟工程等方面取得无法替代的角色。我们可以用数学说明夕阳色彩分布的情况，也可以用来说明人类的大脑结构。数学帮助我们打造超音速飞机跟云霄飞车，模拟地球天然资源流转的方式，进入次原子的量子世界探索，甚至让我们得以想象遥远的银河系。数学可以说是改变了我们看待宇宙的方式。在本书中，我希望运用少量数学公式提供一点数学品位，而鼓励读者发挥想象力。对大多数读者而言，这本书所谈论的应该不只是能满足好奇心却缺乏实用价值的单元，根据美国教育部实际调查的结果显示，能够顺利完成高中数学课程的学生升上大学后不论选读哪一个专业，都能够展现出比较优秀的学习能力。数学的实用性让我们可以建造宇宙飞船，探索所处宇宙的几何结构。数字也可能是我们跟有智能的外星生物间所采用的第一种沟通手段。有些物理学家认为掌握更高空间维度和拓朴学（topology，探索形状与彼此间相互关系的一门学问），或许有一天当现在这个宇宙处于在极热或极冷的末日之际，我们就能逃出，在不同的时空环境下安身立命。数学史上不乏许多人同步有重大发现的例子，就以这本书里面的莫比乌斯带（TheMobiusStrip）为例。德国数学家莫比乌斯（AugustMobius）和当时另一位德国数学家利斯廷（JohannBenedictListing）同时在公元1858年各自发现莫比乌斯带（一个只有单面，神奇的扭曲物体）。这种同步发现的现象就跟英国博学多闻的牛顿（IsaacNewton）与德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilhelmLeibniz）各自同时发现微积分的例子相似。这些例子让我不禁怀疑科学领域为何经常有不同人，在相同时间，独立发现同一件事情的情况？其他例子还包括英国博物学家达尔文（CharlesDarwin）和华莱士（AlfredWallace）都在相同时间各别提出演化论的观点，匈牙利数学家鲍耶（JánosBolyai）和俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（NikolaiLobachevsky）似乎也是在同一时间各别提出双曲几何的想法。最有可能解释同步重大发现的理由，是因为人类在那些时间点对于即将诞生的发现，已经累积足够的知识，这些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出来；可能两位科学家都受到当代其他研究人员同一篇先导研究论文的影响。另一种带有神秘色彩的解释，会从较深层的观点说明这种巧合。奥地利生物学家卡梅纳（PaulKammerer）曾表示：“或许我们可以说，尽管打散、重组的过程在现实世界繁华的表面下与宇宙无垠的千变万化中不断重复发生，但是物以类聚的现象也会同时在这些过程中产生”；卡梅纳把现实世界的重大事件比喻成海洋波涛的顶端，彼此间看起来各自孤立，毫无瓜葛，不过根据他充满争议性的理论，我们其实只看到上层的波浪，却没注意到海面下可能存在某种同步机制，诡谲地把世上各种重大事件串在一起，才显现出这种一波又一波的风潮。
易法拉（GeorgesIfrah）在《数目溯源》（TheUniversalHistoryofNumbers）一书中谈论马雅数学时，顺便论及了这种同步情况：
我们因此又再一次地见证到，散居在广大时空环境的下互不认识的人……也会有非常类似甚至是一模一样想法。……有些例子的解释；是因为他们接触了另一群不一样的人并受到对方的影响，……真正的有效解释是因为前面提过的深层文化融合：智人（Homosapiens）这种生物的智力具有共通性，把世界各个角落统整串连的潜力非常可观。
古代的希腊人深深受到数目字的吸引。在这个不停变动世界的艰困年代，会不会只有数目字才是唯一恒常不变的？对于源自一门古希腊学派、毕达哥拉斯理念的追随者而言，数目字是具体不变、和缓永恒的—比所有朋友更值得信赖，却不像阿波罗或宙斯般让人无法亲近。本书中有很多条目都跟整数有关，聪颖的数学家艾狄胥（PaulErdos）醉心于数论——有关于整数课题—的研究，他经常能轻易使用整数提出问题，尽管问题的陈述很简单，但是每一题却都是出了名的难解。艾狄胥认为如果有任何数学问题提出后经过一个世纪依然无解的话，那一定是个跟数论有关的问题。有很多宇宙万物可以用整数表达之，譬如用整数描述菊花花瓣构成的方式、兔子的繁衍、行星的轨道、音乐的合弦，以及周期表元素间的关系。德国代数学家暨数论大师克罗内克（LeopoldKronecker）曾经说过：“只有整数来自于上帝，其他都是人造的。”这句话也暗示整数是一切数学的最主要根源。自从毕达哥拉斯的年代以来，按照整数比例演奏出的音乐，就相当受欢迎，更重要的是，在人类理解科学的演进过程中，整数也扮演着相关关键的角色，像是法国化学家拉瓦节（AntoineLavoisier）就是依照整数比调配组成化合物的元素，显示出原子存在的强烈证据。公元1925年，激态原子放射出一定整数比的光谱波长，也是当时发现原子结构的一项证据。几乎按照整数比呈现的原子量，显示原子核是由整数个数的相似核子（质子跟中子）所组成，与整数比的误差则促成同位素（基本元素的变形体，拥有几乎一样的化学特性，只在中子数的个数上有所差异）的发现。纯同位素（pureisotope）原子量无法完全以整数比呈现的微小差异，确认了爱因斯坦（AlbertEinstein）著名方程式E＝mc2是成立的，也显示出生产原子弹的可能。在原子物理领域随处可见整数的存在。整数关系是组成数学最基本的一股势力—或者引用高斯（CarlFriedrichGauss）的说法：“数学是所有科学的女王——而数论则是数学中的天后。”用数学描述宇宙这门学科成长迅速，但是，我们的思考方式跟语言表达能力却还有待好好加强。我们一直发现或创造出新的数学，但是，我们还需要用更先进的思维才能加以理解。譬如最近这几年已经有人针对数学史上几个最著名问题提出证明，可是，他们的论证方式非常冗长又复杂，就连专家们也都没办法确定这些论证是否正确。数学家哈里斯（ThomasHales）将一篇几何学论文投稿到世界顶级数学杂志《数学年刊》（AnnalsofMathematics）后，整整花了五年的时间等待专家审查意见——专家们最后的结论是找不到这篇论文哪里有错，建议该期刊加以发表，可是必须加上免责声明——他们无法肯定这个证明是对的！另一个例子来自数学家德福林（KeithDevlin），他在《纽约时报》（NewYorkTimes）刊出的文章中承认：“数学已经进展到一个相当抽象的程度，甚至就连专家有时都无法理解最新的研究课题到底在讲什么。”如果就连专家都有这样的困扰，想要把这些信息传递给普罗大众当然更是困难重重，我们只好竭尽所能，尽力而为。虽然数学家们在建构理论、执行运算这些方面很在行，不过他们在融会贯通、解说传达先进观念的能力恐怕还是有所不足。
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