本书简介：
《好的数学：数的故事》是《好的数学》丛书的系列，从数学的发展史上漫谈“数”的扩展过程，展示了关于数的发展中很多有趣有意义的故事。通过本书，让读者能了解：数学是什么？数学的殿堂中有着什么样的奇珍异宝？数学家是一些什么样的人，他们身上有哪些神奇和迷人的故事？数学的魅力何在？…
这一追寻和发现数学脚印的过程，让读者深入思考数学与人类社会的密切联系、数学的奇特、数学之美、数学的力量……从而增进对数学本质的理解，更深刻地感受、领悟数学。
目录：
数的起源
数觉
迈出第一步：计数
一种计量数多少的办法
另一种计数的办法
抽象数概念的初步形成
数字记数法
早期记数符号的出现
符号的简化：进位制的使用
关键的第三步：位值制的使用
重要的数
数
数
形形色色的数的问题
算术：数的计算数的起源
数觉
迈出第一步：计数
一种计量数多少的办法
另一种计数的办法
抽象数概念的初步形成
数字记数法
早期记数符号的出现
符号的简化：进位制的使用
关键的第三步：位值制的使用
重要的数
数
数
形形色色的数的问题
算术：数的计算
数论
数论萌芽
近代与现代数论
数的神秘意义与数字的迷信
小结第二章分数
分数的产生
分数的记法
分数的运算
几类特殊分数
埃及分数
小数
近似分数
加成法
连分数法
小结第三章负数
负数的产生
负数的运算
小结第四章无理数
无理数的诞生与第一次数学危机
无理数的解决方案
无理数地位的初步确立
庞大的无理数家族
代数数
超越数
几个特殊的无理数
无理数
自己动手求近似值的一种方法
的连分数表示
与书
圆周率π
圆周率的计算历程
π的其它计算方法：蒲丰投针实验及其它
圆周率π与美
对π的记忆
π拾零
数e
黄金分割数
小结第五章实数
实数理论的建立
无理数严格定义的建立
戴德金的实数理论
公理化思想
有理数的理论
整数理论
自然数的理论
实数琐谈
实数的分类与性质
实数的逼近
实数的实在性
离散与连续
无限之谜
换角度看数系的推广
小结第六章复数
序曲：一元三次方程的故事
复数的引入
复数地位的确立
复数直观意义的建立
看待复数的另一种方式
最美的公式
小结第七章四元数
关于型的永恒性的代数基础
四元数的产生
四元数的性质
从四元数到向量
从四元数到超复数
数学的客观性
代数结构观点的形成
从代数结构的观点来看数的推广
小结第八章超限数：数系扩展的另一种思路
康托尔与他的集合论
再谈无限之谜
康托尔对无穷大的新见解
比较数集的大小
构造性与存在性
步入超穷数王国
小结第九章数系巡礼
数系拓展中的几个问题
数学发展的非逻辑性
数学发展的动力
数系扩展中的态度
不同数学态度的根源
数学的特点
抽象性
精确性
应用的广泛性前言一提到数学这个词，大多数人头脑里闪现的第一样东西可能就是数，似乎数学就是关于数的学科。这种认识并不准确，因为数仅仅是数学家关心的一类对象，但这种对数学的自然反应却折射出数对于数学的重要性。数，作为日常生活中出现的数量关系的度量，确实是数学最基本的概念。现代数学中的纯粹数学、计算数学都是围绕数的概念建立起来的。毫不夸张地说，数是数学的核心，是一种无处不在的力量，亦是锻造大量称之为数学的原材料。
然而对于什么是数，这样一个看似非常简单的问题，却无法形成一个标准的答案。
在一开始，人们对数的认识仅限于计算个数，对数的了解限于用于计数的自然数。然而后来各种各样的数扩充到这个大家庭中来了。如零、负数、无理数、实数……甚至对哪些有资格被称为数，数是一种真实的存在，还是人的思维创造物，在不同的数学家眼中还存在着争论。
并且，这种对数的概念的不断扩充，在数学上也并非是一个一蹴而就的事。象许多数学概念那样，事实上数的演进经历了极其漫长、复杂的过程，或由于偶然，或由于需要一提到数学这个词，大多数人头脑里闪现的第一样东西可能就是数，似乎数学就是关于数的学科。这种认识并不准确，因为数仅仅是数学家关心的一类对象，但这种对数学的自然反应却折射出数对于数学的重要性。数，作为日常生活中出现的数量关系的度量，确实是数学最基本的概念。现代数学中的纯粹数学、计算数学都是围绕数的概念建立起来的。毫不夸张地说，数是数学的核心，是一种无处不在的力量，亦是锻造大量称之为数学的原材料。
然而对于什么是数，这样一个看似非常简单的问题，却无法形成一个标准的答案。
在一开始，人们对数的认识仅限于计算个数，对数的了解限于用于计数的自然数。然而后来各种各样的数扩充到这个大家庭中来了。如零、负数、无理数、实数……甚至对哪些有资格被称为数，数是一种真实的存在，还是人的思维创造物，在不同的数学家眼中还存在着争论。
并且，这种对数的概念的不断扩充，在数学上也并非是一个一蹴而就的事。象许多数学概念那样，事实上数的演进经历了极其漫长、复杂的过程，或由于偶然，或由于需要，或由于稀奇，或由于探索的需求，或只是游刃于某个思维领域。而这种数的扩张也正是贯穿数学历史中的一条明显的红线。
本书中所要做的正是沿着这条数学发展历史上的明线，在数的世界里做一番漫游，我们将去追溯历史，去了解关于数的发展的有趣的事情。希望通过这番漫游，能够把数学中的一个侧面即“数”的内容尽可能通俗地、准确地传达给一般读者，使你们对数这一概念有个完整的概括的印象。同时通过这番漫游，能了解：数学是什么？在数学的殿堂中有着什么样的奇珍异宝？数学家是一些什么样的人？在数学发展史上曾发生了哪些迷人的故事？数学的魅力何在？……等等有趣的事情。朋友们，你们可有兴趣去了解这一切？
只要你有足够的了解事物根由的好奇心，足够的耐心与不多的数学知识，那么你从本书获得的回味毫无疑问会远远超出任何一本武侠小说。闲话少说，来，让我们一起踏上遨游数学海洋的小舟，去做一次丰富而有趣的航行吧！让我们考虑一个问题。那就是，偶数与全体自然数到底哪个多？
让我们把每个自然数与它的二倍即唯一的一个偶数配成对，那么所有的自然数连一个也没有漏下，即是说两者之间存在一个一一对应。于是按照刚才的论证，我们要下结论说：所有的偶数是和所有的自然数一样多的。然而常识告诉我们，亚里士多德也这么说过：全体大于部分。既然所有的偶数是在所有的自然数里去掉那些奇数以后才得到的，那么当然就是全体中的一个部分了。你怎么想呢？
“全都乱了套了！”
当以上的想法掠过你的脑海时，你大概会这么对自己说吧。这正是与上面的伽利略悖论完全相似的问题。所谓悖论，就是这样的一种思辨状态，当你用一种理所当然的方式进行推理的时候，得到的是一个结论，而当你用另一种也很理所当然的方式进行推理的时候，得到的却是一个相反的结论。碰到悖论并不是件倒霉事儿，而是一个绝好的机会，因为这表明在整桩事情中间，有某样东西我们还没有弄明白，而它有可能会把我们引向一个新的正确地方，现代伟大物理学家玻尔的同事在和他一起研究一个很棘手的问题时，有一次听见他轻轻地自言自语：“妙极了！我们碰到了个悖论！现在总算有希望取得一些进展啦！”
好了，按照玻尔的逻辑，现在我们就有一个绝好的机会摆在我们面前，就看我们能否把握住它了。悖论的出现意味着某个环节上出了问题。让我们先来分析一下问题究竟出在何处。
在比较两个集合的时候，我们使用了一一对应的办法。难道我们的方法有什么问题吗？似乎不是。对这种一一对应的方法我们觉得倒是挺妙的。那么问题又出在哪呢？想想前面的介绍，你有没有忽然恍然大悟呢？噢，当我们比较这两个集合的时候，我们已经暗中承认了它们可以组成一个集合，即无穷集合。这事实上正是一种实无限的观念。症结找到了。悖论出在我们对实无限的认可。那么如何解开症结呢？
伽利略没有把这个悖论继续考虑下去，他的解决方案是：否定实无限的存在，因为承认实无限意味着会导致不合常识的悖论。
这实际上是一种回避的方式……
正如希尔伯特所强调的那样：“无穷啊！除你之外，还有什么问题能如此深深地激动人们的心灵呢？”照希尔伯特的说法，我们这个世界就是无穷和超穷的世界。
……
正是由于康托尔的努力，无限的神秘面纱被揭开了，围绕着无穷概念的迷雾慢慢地散去。在数学领域中，这一概念经过了无数次的塑造和再塑造，而且在这里它最终庆祝了它的最大胜利。我们讲述的数系的发展故事也要到这里结束了。回想走过的历程，我们从人类长期经验的产物自然数开始我们的航行，到个人思维的美妙产物超限数终止。这真是再恰当不过的了。
……
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