内 容 提 要
本书系统阐述了矩阵计算这门学科的基础理论、基本方法和近十几年来发展成熟
并得到了广泛应用的新成果.内容包括：矩阵知识的复习和补充，矩阵计算概论；求
解线性方程组的直接法和迭代法，线性最小二乘问题，共轭梯度法；求解特征值问题
的QR方法和同伦方法；Lanczos方法以及求解Jacobi矩阵特征值反问题的正交约
化方法等.
本书取材上，既注重基础理论的严谨性、方法的实用性，又保持了内容的新颖性，
反映了该学科的最新进展.本书内容自封，各章之间相对独立，可适用于不同读者的
需要.
本书可作为计算数学、应用数学等有关专业高年级大学生和研究生的教材或教学
参考书，也可供从事科学计算的数学工作者、工程技术人员和高校有关专业的高年级
大学生和教师参考，
目录：
目 录
第一章 矩阵知识的复习和补充
1主要记号和定义
2Schur分解和奇异值分解
2.1Schur分解
2.2奇异值分解
3 向量范数和矩阵范数
3.1向量范数
3.2矩阵范数
3.3谱半径和矩阵序列的收敛性
4正交投影和子空间之间的距离
4.1正交投影
4.2子空间之间的距离
5非负矩阵
5.1基本概念和性质
5.2PerronFrobenius定理
5.3非负矩阵的谱
5.4Birkhoff定理
6有关矩阵特征值的几个重要定理
6.1一般方阵的Bauer－Fike定理
6.2正规矩阵的Hoffman－Wielandt定理
6.3Hermite矩阵的极小极大定理
习 题
第二章 矩阵计算概论
1矩阵计算的基本问题和来源
1.1基本问题
1.2膜的振动
1.3弹性系统的振动
1.4多元线性回归分析
2病态问题和数值稳定性
2.1矩阵计算问题的病态和良态
2.2算法的数值稳定性
3矩阵计算的基本工具
3.1Householder变换
3.2Givens变换
3.3Gauss变换
习 题
第三章 线性方程组的直接解法
1线性方程组的条件数
2基本解法的回顾
2.1Gauss消去法
2.2Cholesky分解法
3对称不定方程组的解法
4Vandermonde方程组的解法
5Toeplitz方程组的解法
5.1YuleWalker方程组
5.2一般右端项的Toeplitz方程组
5.3Toeplitz矩阵的逆
6条件数的估计和迭代改进
6.1条件数的估计
6.2迭代改进
习题
第四章 线性方程组的迭代解法
1迭代法概述
2基本迭代法
3正定矩阵和某些迭代法的收敛性
4H矩阵和某些迭代法的收敛性
5多项式加速
习题
第五章 共轭梯度法
1最速下降法
2二次泛函的几何性质
3共轭梯度法及其基本性质
4实用共轭梯度法及其收敛性
4.1实用共轭梯度法
4.2收效性分析
5预优共轭梯度法
6不完全分解预优技巧
6.1松弛不完全LU分解
6.2松弛不完全Cholesky 分解
6.3分块不完全Cholesky 分解
7求解非正定线性方程组的共轭梯度法
7.1正规化方法
7.2广义共轭剩余法题
第穴章 最小二乘问题的数值解法
1最小二乘解的数学性质
1.1最小二乘解的特征
1.2最小二乘解的一般表示
1.3最小二乘解的扰动分析
2求解满秩LS问题的数值方法
2.1正规化方法
2.2正交化方法
3求解亏秩LS问题的数值方法
3.1列主元QR分解法
3.2奇异值分解法
3.3数值秩的定义和确定方法
4求解L8问题的迭代法
4.1基于正规化方程组的古典迭代法
⒋2基于等价方程组的SOR和SSOR迭代法
5完全最小二乘问题
习题
第七章 求解特征值问题的QR方法
1特征值和不变子空间的条件数
1.1特征值的条件数
1.2不变子空间的条件数
2双重步位移的QR算法
2.1QR算法的基本思想
2.2实Schur标准形
2.3上Hessenberg化
2.4双重步位移的QR迭代
2.5双重步位移的QR算法
3特征向量和不变子空间的计算
3.1特征向量的计算
3.2不变子空间的计算
4对称QR方法
5奇异值分解的计算
6分而治之法
6.1分割
6.2胶合
习题
第八章 求解实对称特征值问题的同伦方法
1同伦算法概述
2同伦的构造和性质
3同伦路径的数值追踪
3.1预估
3.3校正
3.3核查
3.4同伦算法
习题
第九章 Lanczos方法
1Lanczos迭代及其基本性质
2Kanie－Paige－Saad理论
3Lanczos算法
4求解对称线性方程组的Lanczos方法
5求解非对称线性方程组的广义极小剩余法
习题
第十章 求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法
1基本问题和定性理论
2数值方法
2.1Lanczos方法
2.2正交约化法
3相关问题
3.1秩1修改问题
3.2广对称Jacobi矩阵的特征值反问题
3.3对角矩阵与秩1矩阵之和的特征值
习题
参考文献
索引
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