线性代数
作者：孟昭为 整理日期：2016-03-30 23:30:16
《线性代数》是根据高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的.主要内容有：n阶行列式、矩阵与向量、矩阵的运算、线性方程组、相似矩阵与二次型、线性空间与线性变换、矩阵理论与方法的应用.书后附有部分习题参考答案.书末的附录中选编了2010～2015年全国硕士研究生入学考试线性代数的部分试题.
目录：
第三版前言
第一版前言
第1章n阶行列式1
1.1n阶行列式的概念1
1.2n阶行列式的性质10
1.3n阶行列式的计算16
1.4克拉默法则23
习题128
第2章矩阵与向量34
2.1消元法与矩阵的初等变换34
2.2向量及其线性运算40
2.3向量组的线性相关性43
2.4矩阵的秩53
习题260
第3章矩阵的运算64
3.1矩阵的运算64
3.2逆矩阵74
3.3初等矩阵77
3.4分块矩阵82
习题389
第4章线性方程组94
4.1线性方程组解的判别94
4.2齐次线性方程组101
4.3非齐次线性方程组105
习题4110
第5章相似矩阵与二次型115
5.1向量的内积与正交向量组115
5.2方阵的特征值与特征向量119
5.3相似矩阵125
5.4实对称矩阵的相似对角形130
5.5二次型及其标准形137
5.6正定二次型148
习题5151
第6章线性空间与线性变换156
6.1线性空间的概念156
6.2基？坐标及其变换158
6.3线性变换及其矩阵162
习题6168
第7章矩阵理论与方法的应用171
7.1矩阵方法在微积分中的应用171
7.2投入产出数学模型180
习题7193
部分习题参考答案195
附录全国硕士研究生入学考试线性代数试题选208作者介绍暂无文摘第1章n阶行列式
行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式来求解一类特殊线性方程组的克拉默法则.
1.1n阶行列式的概念
行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组
用加减消元法得
当a11a22-a12a21≠0时，方程组(1.1)有唯一解
为了进一步讨论方程组的解与未知量的系数和常数项之间的关系，引入下面记号:
并称之为二阶行列式，它表示数值a11a22-a12a21，即a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.行列式中横排的叫做行，纵排的叫做列，数aij(i，j=1，2)称为行列式的元素，i为行标，j为列标.由上述定义得b1a12
若记
则方程组(1.1)的解可用二阶行列式表示为x1=D1D，x2=D2D(D≠0).对于三元一次方程组
如果满足一定条件，则其解也可通过加减消元法求出，但解的表达式较为复杂，难于看出解与系数、常数项之间的规律性联系.为寻求这种联系，下面引入三阶行列式的概念.我们称记号
为三阶行列式，它由三行三列共9个元素组成，表示数值a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33，(1.3)
(1.4)这种方法称为计算行列式的对角线法则.例1求下列行列式的值:(1)
cab.解(1)
若记
则容易验证，方程组(1.2)的解可表示为
引入了二阶、三阶行列式的概念之后，二元、三元线性方程组的解可以很方便地由二阶、三阶行列式表示出来.那么对于n元线性方程组a11x1+a12x2++a1nxn=b1，
在一定条件下它的解能否有类似的结论?这里首先要解决的问题是定义n阶行列式.为此，我们观察方程组(1.1)、(1.2)的系数与对应的二阶、三阶行列式的元素的位置关系，暂且把记号
称为n阶行列式(简记为Δ(aij))，它是由n行n列共n2个元素组成.在明确(1.6)式的意义之前，我们先来定义n阶行列式中元素aij(i，j=1，2，，)的余子式、代数余子式.
定义1.1.1把n阶行列式(1.6)中元素aij所在的第i行和第j列删去后留下的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij，即
为元素aij的代数余子式.例如，对于三阶行列式a11a12a13
第一行元素的代数余子式分别为A11=(-1)1+1a22a23
利用以上结果可将(1.4)式化简为a11a12a13
此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素a11，a12，a13与所对应的代数余子式A11，A12，A13乘积的和.这与(1.4)式的定义是一致的，这种用低阶行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出n阶行列式(1.6)的归纳法定义.定义1.1.2n阶行列式(1.6)是由n2个元素aij(i，j=1，2，，)所决定的一个数.当n=2时，定义a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.假设n-1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式a11a12a1n
其中A1j(j=1，2，，)是n阶行列式中元素a1j(j=1，2，，)的代数余子式.显然，对任意自然数n，由此归纳定义可求n阶行列式的值.特别地，当n=1时，行列式a11=a11，不能与数的绝对值相混淆.
例2求下列行列式的值：
这个行列式称为下三角行列式，它的特点是当i＜j时aij=0(i，j=1，2，，n).
解由行列式的定义，得
D=a11A11+0A12++0A1n，
A11是一个n-1阶下三角行列式，由定义A11=a22a3300
依次类推，不难求出D=a11a22ann，
即下三角行列式等于主对角线上的诸元素的乘积.作为下三角行列式的特例，主对角行列式λ
证由行列式的定义D=(-1)1+na1n00a2n-1
特别地，次对角行列式序言暂无
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